图论基础
2 hdu 4109
求关键路径（最长路）。
解
- 用最短路算法，把<改成>
- 拓扑排序
3 zoj 1508
有若干个区间 \([a_i,b_i]\) ，现在请找到一个整数集合 \(Z\) ，使得 \(|Z∩[a_i,b_i]|=c_i\) 。
差分约束。
解
差分约束建边：
若 \(x_1+c≥x_2\) ，则连边 \(<x_1,x_2>\) ，边权为 \(c\) 。为什么？因为最短路算法中，如果有 \(dis[u]+w[i]<dis[v]\) ，就要更新 \(dis[v]\) ，力求让 \(dis[v]≥dis[u]+w[i]\) 。
然后，设 \(s[i]\) 表示 \(1-i\) 中有多少个数这道题的不等式：
\(s[i-1]+1≥s[i]\)
\(s[i]+0≥s[i-1]\)
\(s[n]+0≥s[i]\)
\(s[b[i]]+(-c[i])≥s[a[i]-1]\)
然后spfa跑一遍最短路。
4 hdu 3631
有若干次操作：
- 标记点 \(u\) ；
- 询问 \(u\) 到 \(v\) 的最短路。
\(n\le 300,m\le 100000\)
解
每次标记了一个点，就用floyd去 \(n^2\) 更新。
5 Codeforces 274D
一个 \(n*m\) 的矩阵，要求每一行的数字都是非递减的，可以交换某些列达到这一要求。输出交换后的序列顺序。
解
拓扑排序完事。
6 Codechef CLIQUED
一个无向图， \(k\) 个特殊点，两两有一条长度确定的道路连接（不在输入中给出），问点 \(S\) 到所有点的最短路。
解
新建一个节点 \(U\) ，对于每个特殊点 \(v\) ，连有向边 \(<v,U,0>\) 、 \(<U,v,特殊点间的道路长度>\) 。
然后正常跑最短路。
7 poj 1275
解
先二分雇佣总人数。
设 \(s[i]\) 为时刻 \(0-i\) 来工作过的总人数。
\(s[i]-s[i-1]≥a[i]\)
\(s[i]-s[i-1]\le t[i]\)
\(s[i]-s[i-1]≥0\)
\(s[i]-s[i-8]≥a[i](i\le 8)\)
\(s[i+16]-s[i]≥a[i]-雇佣总人数(i>8)\)
8 poj 3159
有 \(n\) 个小孩要分糖果，有 \(m\) 个要求，每个要求形如第 \(i\) 个小孩要求第 \(j\) 个小孩的糖果数不能超过他的糖果数 \(+c\) 。问所有人糖果数的最大值 \(-\) 最小值。
解
差分约束。
\(a_j-a_i\le c\)
9 hdu 4635
给你一张简单有向图，问最多加几条边，使得图还是简单的且不强连通。如果图一开始就强连通，输出 \(-1\) 。
解
枚举每一个强连通分量，一种方案是把这个强连通分量两两节点连上边，其他所有强连通分量缩成一个点，两两节点连上边，这样这张图就只有两个强连通分量了，然后在这两个强连通分量中连很多条单向边。
10 poj 2240
给出 \(n\) 种货币互相的汇率，问能否通过兑换货币来赚钱。
解
初始化每个节点的点权为1.0，然后if(dis[u]*w[i]<dis[v])dis[v]=dis[u]*w[i];
最后查找有无 \(>1\) 的环
11 bzoj 2750
问一张图中有多少条最短路经过某条边。
解
先跑 \(n\) 边dijkstra预处理出所有点对间的最短路，然后在形成的最短路径DAG上跑一遍统计。
12 bzoj 2763
一张无向图，询问\(1\) 到 \(n\) 的最短路。可以把最多 \(k\) 条边的边权改为0。\((k\le 10)\)
解
设 \(dis[i][j]\) 为 \(1\) 到 \(i\) 的最短路，使用了 \(j\) 次把边权更改为0。
13 poj 3463
问 \(s\) 到 \(t\) 的最短路和次短路有多少条。次短路长度必须等于最短路长度+1。
解
设 \(dis[i][0/1]\) 为 \(s\) 到 \(i\) 的最/次短路长度， \(cnt[i][0/1]\) 为 \(s\) 到 \(i\) 的最/次短路数量。
dijkstra时转移。
14 zoj 3408
问有多少条以1为起点的最短路经过某条边。膜 \(10^{10}\) 。
解
dijkstra预处理最短路，然后在形成的最短路径DAG上跑一遍统计。
最后膜的时候用龟速乘。
