树形结构基础
以下 \(n\le 10^5\)
1 Codeforces 686D
给你一棵树，求出这棵树所有子树的重心。
解
树的重心性质：
- 以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
- 把两棵树连起来，新树的重心必定在原来两棵树的重心连线的路径上。
在dfs的过程中，我们利用性质1、2，设当前节点为 \(u\) ， \(u\) 的其中一个子节点为 \(v\) ，如果 \(v\) 的子树大小超过了 \(u\) 的一半，那么 \(u\) 的子树的重心一定在 \(u\) 和 \(v\) 的子树重心的连线上，我们从 \(v\) 的子树重心暴力往上跳，每次检验是否合法即可。
2 Codeforces 191C
给你一棵树和若干对节点，问对于树的每条边，有多少对节点间的路径经过它。
解
对于每一对点，在这两个点上打上+1标记，在它们的lca上打上-2标记，最后用树上差分查询。
3 Codeforces 842C
定义一个节点的美丽值为从它到根的路径上的所有点的点权的gcd。有若干个询问，询问节点最大可能的美丽值。对于每个询问，你能将树中某一个节点的点权改为0。\(gcd(a,0)=a\)。根节点美丽值为其点权。
点权 \(\le 10^5\) 。
解
我们发现点权不大，于是在dfs下去的过程中，我们维护目前扫过的点的所有因子出现的次数。
设当前节点深度为 \(d\) ，根节点深度为0。
在寻找当前数的因子的过程中，如果有一个因子出现次数 \(≥d\) ，那么这个因子必然就是当前节点的答案之一。
另外，还要考虑不选当前节点的情况。
这样能保证复杂度为 \(O(n\sqrt{n})\) 。
4 Codeforces 813C
有A,B两个人在一棵树上van，A位于1节点，B位于x节点，B先手，每一次A,B可以移动到相邻的节点，也可以不动。当A,B相遇时游戏结束。现在A想要最小化游戏次数，B想要最大化游戏次数。输出最终的游戏次数。
解
找到满足 \(disB[u]<disA[u]\) 且 \(disA[u]\) 最大的节点即可。
5 Codeforces 682C
定义一个节点 \(v\) 是伤心的，如果它的子树中存在一个节点 \(u\) ，使得 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 为 \(u\) 的点权， \(dis(v,u)\) 为从 \(v\) 到 \(u\) 路径上的边权和。现在你可以进行若干次操作，每次可以删除当前树中的一个叶节点，问最少删除几个节点能使树中没有一个节点是伤心的。
解
对于一个节点 \(u\) ，如果它到根节点的路径上的某一段边权后缀和大于它的点权，那么这个节点必然会使某一个节点伤心，删除这个节点。dp弄一下。
6 Codeforces 337D
有一本魔书在一棵树的一个节点上，这棵树上与它距离不超过 \(d\) 的点会被影响。现在告诉你目前发现已经被影响到的点（可能还有一些点也被影响，但没有告诉你），请你判断魔书有多少种可能的位置。没有输出0。
解
找到距离最远的两个被影响到的点，计算有多少个点到它们的距离 \(\le d\) 。
7 Codeforces 782C
给你一棵树，要给每个节点染色，要求任意相邻的三个节点不能是相同的颜色。问最少使用几种颜色。
解
对于每个节点，颜色从1开始++，如果该颜色使用过就跳过。
8 Codeforces 739B
一棵树，问对于所有的节点，它们各自能控制多少个节点。
节点 \(v\) 能控制节点 \(u\) ，当 \(u\) 在 \(v\) 的子树中，且 \(dis(v,u)>a[u]\) ，其中 \(a[u]\) 为 \(u\) 的点权， \(dis(v,u)\) 为从 \(v\) 到 \(u\) 路径上的边权和。
解
我们发现，对于一个节点 \(u\) ，能控制它的节点必定是它到根节点路径上的点的一个后缀。所以扫到一个节点 \(u\) 时，我们二分一个节点 \(v\) ，使 \(v\) 是深度最小的能控制 \(u\) 的节点，然后用树上差分将从 \(v\) 到 \(u\) 的父亲的所有节点都+1，最后统计每个节点加了几次。
9 Codeforces 980E
一棵树，第 \(i\) 个节点的点权为 \(2^i\) ，现在可以进行 \(k\) 次操作，每次可以删除当前树的一个叶节点，要最大化剩下节点的点权和。问应该删除哪些节点。
解
首先考虑贪心，因为前 \(i-1\) 个节点的点权加起来还没第 \(i\) 个节点的点权大。
我们不妨设根节点为 \(n\) 号节点，然后从大到小枚举其他节点，每次检验当前节点是否能保留。如果当前节点要保留，那么它的所有祖先也要保留。然而，保留的节点个数不能超过 \(n-k\) 个。
怎么统计当前要保留的节点个数？由于保留的节点是单调的，所以用倍增找到第一个未被标记为保留的节点，它到当前节点的距离+1就是需要保留的节点个数。
