树的重心

定义

找到一个点，其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。

性质

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
2. 找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。
3. 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4. 以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
5. 把两棵树连起来，新树的重心必定在原来两棵树的重心连线的路径上。

应用

求树的重心模板

void getG(int u,int last){
    int ret=0;
    sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==last)continue;
        getG(v,u);
        ret=max(ret,sz[v]);
        sz[u]+=sz[v];
    }
    ret=max(ret,n-sz[u]);
    if(ret<szG){
        szG=ret;
        G=u;
    }
}

\(O(n)\) 求一棵树中所有子树的中心

void dfs(int u,int last){
    G[u]=u;
    sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==last)continue;
        dfs(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
    }
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==last)continue;
        if((sz[v]<<1)>sz[u]){
            G[u]=G[v];
        }
    }
    while(((sz[u]-sz[G[u]])<<1)>sz[u]){
        G[u]=fa[G[u]];
    }
}