自适应梯度算法AdaGrad（Adaptive Gradient Algorithm）

起源：

AdaGrad（Adaptive Gradient Algorithm）起源于对深度学习训练过程中学习率自适应调整的需求。传统的梯度下降方法使用固定的学习率，但在实际训练过程中，不同的参数可能需要不同的学习率来进行更新。AdaGrad就是为了解决这一问题而提出的。

定义：

AdaGrad是一种自适应学习率的梯度下降优化算法。它通过累积参数梯度的历史信息来为每个参数自适应地调整学习率。

原理：

初始化：设置初始学习率。
计算梯度：在每次迭代中，计算当前参数对应的梯度。
累积梯度平方：AdaGrad使用一个累积梯度平方的向量r，其初始值为0。在每次迭代中，r的每个元素会更新为r_t = r_(t-1) + g_t^2，其中g_t是当前迭代的梯度。
调整学习率：根据累积梯度平方r和初始学习率η，为每个参数调整学习率。具体来说，学习率η_t会变为η / sqrt(r_t + ϵ)，其中ϵ是一个很小的常数，用于防止除数为0的情况。
更新参数：使用调整后的学习率η_t来更新参数。

优点：

自适应学习率：AdaGrad能够根据参数的历史梯度信息为每个参数自适应地调整学习率，有助于在训练过程中更高效地优化模型。
处理稀疏梯度：对于稀疏梯度的情况，AdaGrad能够更好地利用梯度信息，提高收敛速度。

缺点：

学习率单调递减：由于AdaGrad累积了历史梯度平方的信息，学习率会随着迭代的进行而逐渐减小，可能导致在训练后期学习率过小，无法进行有效更新。
对超参数敏感：AdaGrad的性能对初始学习率等超参数比较敏感。

适应场景：

AdaGrad适用于数据分布稀疏的场景，能够更好地利用稀疏梯度的信息，比标准的SGD算法更有效地收敛。然而，由于AdaGrad的学习率单调递减的特性，它可能不适用于需要长时间训练的模型或数据集。
数据一步步地展示：
这里我无法直接展示具体的数据迭代过程，但我可以为你描述一个简化的示例。假设我们有一个简单的损失函数和一个参数w，我们使用AdaGrad来优化这个损失函数。在每次迭代中，我们会计算损失函数对w的梯度g，然后根据g来更新累积梯度平方r，接着根据r和初始学习率来调整学习率η_t，最后使用η_t来更新参数w。这个过程会不断重复，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或损失函数值小于某个阈值）。