树的基本概念

节点的度

节点的度（Degree of a Node）：节点的度是指该节点直接拥有的子节点的数目。换句话说，它表示与该节点直接相连的子树的数量。

• 对于一般的树（非二叉树），一个节点的度可以是任何非负整数。例如，一个节点可以有3个子节点，那么它的度就是3。
• 对于二叉树（Binary Tree），一个节点的度只能是0、1或2。因为二叉树的定义是每个节点最多有两个子节点（一个左子节点和一个右子节点）。

叶子节点（Leaf Node）：叶子节点是没有子节点的节点，也就是说它们没有直接相连的子树。因此，叶子节点的度为0。

树的度

树的度（Degree of a Tree）是一个用来描述树形结构特性的重要概念。它指的是树中所有节点的度（节点的子节点数）中的最大值。这里的“度”是针对树中每一个单独的节点而言的，而树的度则是这些单个节点度中的最大值。

为了更好地理解树的度，我们可以先通过二点回顾一下上节，然后逐步引出新内容：

1. 节点的度：
   节点的度是指该节点所拥有的子节点的数目。对于根节点来说，它的度就是其直接子节点的数量。

2. 如何计算节点的度：
   对于任意一个节点，我们只需数出它的直接子节点的个数，这个数就是该节点的度。在二叉树中，节点的度只可能是0、1或2，因为二叉树的定义是每个节点最多有两个子节点（一个左子节点和一个右子节点）。但在非二叉树中，节点的度可以是任何非负整数。

3. 树的度的计算：
   树的度是通过找出树中所有节点的度，然后取这些度中的最大值来得到的。换句话说，树的度就是树中所有节点中，度最大的那个节点的度。这个值反映了树中任意节点可能拥有的最大子节点数。

4. 树的度与节点度的关系：
   树的度与树中各个节点的度密切相关，但又不完全相同。树的度是节点度的一个上限，它限制了树中任意节点可能拥有的最大子节点数。而节点的度则是具体的、针对每个节点的，它可能小于或等于树的度。

5. 实例说明：
   假设我们有一棵树，其中根节点有3个子节点，而这三个子节点中，有两个分别有2个子节点，另一个有1个子节点。那么，这棵树的度就是3（因为根节点的度最大），而各个节点的度则分别是3、2、2和1。

树的深度（或高度或最大层次）

树的深度（或高度）确实是指从根节点开始，沿着树的最长路径到达最远叶子节点的节点数（如果计算路径上的边数，则深度或高度会比节点数少1）。具体来说，树的深度通常是从根节点开始计算，自顶向下逐层累加，而树的高度则是从叶子节点开始计算，自底向上逐层累加。但在大多数情况下，这两个概念都被视为同一事物的两种不同表述方式，即它们都表示树的最大层次。

当我们谈论树中任意节点的深度时，我们通常指的是从根节点到该节点的路径上的节点数量减去1（不包含根节点）。这是因为根节点的深度被定义为0，所以任意节点的深度是从根节点到该节点的路径上的节点数减去根节点本身。

1. 深度（Depth）：
   • 参照点：根节点（Root Node）
   • 定义：从根节点到目标节点（或叶子节点）的最长路径上经过的节点数（不包括根节点）。根节点的深度通常定义为0。
   • 解释：深度描述了一个节点在树中的位置距离根节点有多远。数值越大，表示节点距离根节点越远。
2. 高度（Height）：
   • 参照点：目标节点（通常是特定节点或整棵树）
   • 定义（对于特定节点）：从该节点到其最远叶子节点的最长路径上经过的节点数（不包括该节点）。
   • 定义（对于整棵树）：从根节点到最远叶子节点的最长路径上经过的节点数（不包括根节点）。根节点的高度通常等同于树的高度。
   • 解释：高度描述了一个节点（或整棵树）的“下垂”程度。对于特定节点，它表示该节点距离其最远叶子节点有多远；对于整棵树，它表示树的最大深度。

例如，在以下树中：

?

1 2 3 4 5 6 7

A (深度0, 高度3)       / \      B   C (深度1, 高度2)     / \   \    D   E   F (深度2, 高度1)         \          G (深度3, 高度0)

　　

在这个例子中：

• 节点A是根节点，其深度为0（因为它是起点），高度为3（因为它到最远的叶子节点G需要经过3个节点）。
• 节点B和C的深度为1（因为它们直接连接到根节点A），高度为2（因为它们到最远的叶子节点D、E、F需要经过2个节点）。
• 节点D、E、F的深度为2（因为它们连接到B或C，并且从根节点A到它们需要经过2个节点），高度为1（因为它们本身是叶子节点，到最近的叶子节点（即它们自己）需要经过1个节点）。
• 节点G的深度为3（因为它是最远的叶子节点，从根节点A到它需要经过3个节点），高度为0（因为它是叶子节点，没有更远的叶子节点）。

注意：在实际应用中，可能会根据具体情境和需要来定义深度和高度的起始值（例如，根节点的深度是0还是1）。但一般来说，深度是从根节点到特定节点的路径长度，而高度通常指的是树的整体深度或从特定节点到其最远叶子节点的路径长度。

树的层及宽度

在树的数据结构中，当我们谈论“层”和“树的宽度”时，我们基于以下参照点来定义它们：

层（Level）

• 参照点：根节点
• 定义：从根节点开始，逐层向下计数，根节点所在的层定义为第0层（或有时定义为第1层，这取决于具体的定义和上下文）。然后，根节点的直接子节点位于第1层，这些子节点的子节点位于第2层，依此类推。

树的宽度（Width of a Tree）

• 参照点：树的每一层
• 定义：在树的某一层中，节点的最大数量。这实际上是指树在该层的“广度”。换句话说，如果我们水平地看某一层，那么这一层上所有节点的数量就是该层的宽度。

图示

下面是一个简单的树形结构图例，展示了层和树的宽度：

?

1 2 3 4 5 6 7

A (根节点，第0层，这一层的宽度为1)       / \      B   C (第1层，这一层的宽度为2)     / \   \    D   E   F (第2层，这一层的宽度为3)         \          G (第3层，这一层的宽度为1)

• 在这个例子中，根节点A位于第0层，其宽度为1（因为只有一个节点）。
• 节点B和C位于第1层，它们的宽度为2（因为这一层有两个节点）。
• 节点D、E和F位于第2层，它们的宽度为3（因为这一层有三个节点）。
• 最后，节点G位于第3层，其宽度为1（因为只有一个节点）。

这个图例清晰地展示了如何基于根节点（参照点）来确定每一层的层级，以及基于每一层来确定该层的宽度。