PHY17 经典力学-夏令营复习第三弹

复习个锤子

1 质点系与守恒律

质心：\(M\bm R=\sum m_i \bm r_i\Rightarrow \sum m_i(\bm r_i-\bm R)=\sum m_i \bm r'_i=0\)。

总动量：\(\bm p=M\bm v=\sum m_i \bm v_i\Rightarrow \sum m_i (\bm v_i-\bm v)=\sum m_i \bm v'_i=0\)。

总角动量： \(\bm L=\sum \bm r_i\times \bm p_i=\bm R\times \bm p+\sum \bm r'_i\times m_i \bm v'_i\)。

总动能： \(T=\sum \frac{1}{2} m_i \bm v_i^2=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2\)。

势能： 假设内力为保守力， \(\bm F_{ji}=-\nabla_i V_{ij}\)，\(V_{ij}=V_{ji}(|\bm r_i-\bm r_j|)\)对应中心力。那么任意两质点间相互作用方向相反且合力矩为零，满足强形式的作用和反作用定律。 \(\sum_{i\neq j} \int_1^2 \bm F_{ji}\cdot d \bm s_i=-\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}V_{ij}|^2_1\)。假设外力为保守力， \(\bm F_i^{(e)}=-\nabla_i V_i\)。定义系统的总势能为 \(V=\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}\)。

总能量：\(E=T+V=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2+\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}\)。

守恒律：如果满足强形式的作用和反作用定律，外力为保守力，那么系统的动量、角动量、能量守恒。

更一般的守恒律：洛伦兹力不是保守力，不满足强形式的作用和反作用定律，但如果将电磁场的动量、角动量、能量考虑进来，满足更一般的守恒律。

2 理想完整约束与拉格朗日方程

完整约束：约束条件中不含 \(\dot{\bm x}_i\)：\(f(\bm x_i,t)=0\)。非完整约束可以含 \(\dot{\bm x}_i\)，一个例子是硬币在地面上滚动（可以有倾角）。

稳定约束： 约束条件不显含时间：\(f(\bm x_i,\dot{\bm x}_i)=0\)。不稳定约束可以显含时间，一个例子是一根套在细杆上的圆环，细杆随时间转动。

广义坐标：完整约束系统的所有独立自由度的一个最小集合 \(\{q_1,\cdots,q_{3N-k}\}\)。 \(\bm x_i=\bm x_i(q_1,\cdots,q_{3N-k},t),\quad i=1,2,\cdots,N\)。

广义坐标的导数：\(\dot{\bm x}_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \dot q_j +\frac{\partial\bm x_i}{\partial t}\)。

虚位移： 某一时刻的满足约束条件的变更\(\delta \bm x_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \delta q_j\)。

理想约束：约束力也就是内力，理想约束被定义为约束力所作的净虚功为零 \(\sum \bm F_i^{(c)}\cdot \delta \bm x_i=0\)。杠杆、滑轮、理想刚体都满足理想约束条件，有耗散（摩擦）的系统不满足。可以理解为，系统的内力是保守力且内势能 \(\sum V_{ij}\)保持不变的约束。

达朗伯原理：理想完整约束下 \(\sum_i (\bm F_i^{(e)}-\dot{\bm p}_i) \cdot \delta \bm x_i=0\Rightarrow \sum_j Q_j\delta q_j=\sum m_i\ddot{\bm r}_i \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}\)，其中 \(Q_j=\sum_i\bm F_i^{(e)}\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}\)为广义力。

欧拉-拉格朗日方程：理想完整约束的系统，且外力为保守力，\(Q_j=\sum_i (-\nabla_i V)\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}=\frac{\partial V}{\partial q_j}\)，势函数不依赖于广义速度。那么定义拉格朗日量 \(L=T(q_j,\dot q_j,t)-V(q_j,t)\)，得到 \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。

与速度相关的势：假设广义势函数 \(U(q,\dot q,t)\)，定义广义力 \(Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j}\)， \(L=T(q,\dot q,t)-U(q,\dot q,t)\)，则仍然可以得到拉格朗日方程 \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。这被称为单演系统。

带电粒子在电磁场中运动：\(L=\frac{1}{2}mv^2-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c\)，那么力为\(\bm F=-q\nabla \phi + q\dot {\bm A}/c\)。

3 最小作用量原理

作用量泛函：\(S[q,\dot q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t) dt\)，两端点的 \(q\)固定。这里的拉格朗日量作为 \(q,\dot q,t\)的函数。

最小作用量原理：系统真实的运动轨道使作用量取极值。也就是说拉格朗日量集成了系统的一切物理信息。

作用量变分：\(\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q\right)dt\)，任意固定两端点的路径变分 \(\delta q,\delta \dot q\) 满足 \(\delta S=0\)，分布积分后得到拉格朗日方程\(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。

正则动量：或者称广义动量 \(p_i=\partial L/\partial \dot q_i\)。

等价的拉格朗日量：如果 \(L\rightarrow L+d f(q,t)/dt\)，那么拉格朗日方程不变。

相对论性作用量：构造洛伦兹标量 \(S=-mc\int ds\)，\(ds\)为四维时空中粒子的不变距离，\(m\)为静止质量。\(ds=\sqrt{d x_\mu dx^\mu}\)，\(x^\mu=(ct,\bm x)\)，拉格朗日量为 \(-mc^2/\gamma=-mc^2\sqrt{1-\bm v^2/c^2}\)。多粒子体系可简单推广。

运动方程的四维协变形式：对作用量变分得到\(d^2 x^\mu/d s^2=0\)。可以定义四动量 \(p^\mu=mc (dx^\mu/ds)=(E/c,\bm p)=\gamma(mc,m\bm v)\)。

粒子与电磁场耦合：\(S=-mc\int ds-\frac{e}{c}\int A_\mu(x) dx^\mu\)，四矢势 \(A^\mu=(\phi,\bm A)\)。可得 \(mc(d^2 x_\mu/ds^2)=\frac{e}{c}F_{\mu\nu}\frac{d x^\nu}{ds}\)，得到洛伦兹力公式 \(\dot{ \bm p}=e\bm E+\frac{e}{c}\bm v\times \bm B\)，非相对论极限下回归 \(L=T-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c\)。

粒子与标量场耦合：\(S=-mc\int e^{\Phi(x)}ds\)，运动方程为 \(\frac{d^2 x^\mu }{ds^2}+\frac{\partial \Phi}{\partial x^\nu}\frac{d x^\mu}{ds} \frac{dx^\nu}{ds}=\frac{\partial \Phi}{\partial s}\)。如果取 \(\Phi=V/mc^2\)，则非相对论极限下回归 \(L=T-V\)。

4 对称性

时间平移不变：\(\partial L/\partial t=0\)，那么 \(E=p_i\dot q_i-L\)是守恒量。如果是保守系统，且动能 \(T\)是 \(\dot q_i\)的二次齐次函数，那么\(E=T+V\)，也就是说能量守恒。

空间平移不变：\(\sum \partial L/\partial \bm x_i=0\)，那么 \(\bm P=\sum \bm p_i=0\)是守恒量。

空间转动不变：设绕\(\hat{\bm \theta}\)轴的转动下拉格朗日量不变，\(\partial L/\partial \theta=0\)，那么\(\partial L/\partial \dot\theta\)为守恒量。对称变换为 \(\delta \bm x_i=\delta \bm \theta\times \bm x_i\)，那么 \(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}=\sum \frac{\partial \bm x_i}{\partial \theta}\cdot \bm p_i= \sum \frac{\delta \bm \theta\times \bm x_i}{\delta \theta}\cdot \bm p_i=\sum \bm x_i\times \bm p_i \cdot \hat {\bm \theta}=\bm J\cdot \hat{\bm \theta}\)为守恒量。如果拉格朗日量具有\(SO(3)\)旋转不变性，那么角动量\(\bm J\)守恒。

诺特定理：对称性对应守恒量。

标度不变：势能\(U(\lambda\bm x_1,\cdots)=\lambda^k U(\bm x_1,\cdots)\)，动能 \(T((\lambda/\lambda_t)\dot{\bm x}_1,\cdots)=(\lambda/\lambda_t)^2 T(\dot{\bm x}_1,\cdots)\)。当 \(\lambda_t=\lambda^{1-k/2}\)时拉氏量整体放缩一个因子，运动方程不变。例如开普勒问题中\(k=-1\)，\(\lambda^t=\lambda^{3/2}\)，所以开普勒第三定律表明周期的平方正比于轨道尺寸的立方。

维里定理：势能 \(U(\bm x_1,\cdots)\)不含速度，体系动能 \(T\)是速度的二次齐次函数，那么 \(2T=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial T}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \frac{d}{dt}(\bm x_i\cdot \bm p_i)-\bm x_i\cdot \dot{\bm p}_i\)。假设系统局限在有限区域内运动，对时间取长时间平均，得到 \(2\langle T\rangle = \langle\sum_i \bm x_i\cdot \frac{\partial U}{\partial \bm x_i}\rangle\)。若势能是坐标的 \(k\)次齐次函数，那么 \(2\langle T\rangle = k\langle U\rangle\)。

时间反演不变：\(t\rightarrow -t,\dot{\bm x}\rightarrow -\dot{\bm x}\)，若拉氏量含速度一次项那么将破坏时间反演不变，例如阻尼系统。电磁场中的粒子，拉氏量含 \(\dot{\bm x}\cdot \bm A\)项，\(\bm A\rightarrow -\bm A\)使系统时间反演不变。\(\bm E\rightarrow \bm E,\bm B\rightarrow -\bm B\)。

空间反演不变：\(\bm x\rightarrow -\bm x,\dot{\bm x}\rightarrow -\bm{\dot x},\bm A(\bm x)\rightarrow -\bm A(-\bm x)\)，且势能函数满足空间反演不变，那么系统空间反演不变。\(\bm E\rightarrow -\bm E,\bm B\rightarrow \bm B\)，磁场为轴矢量。

5 中心势场

拉格朗日量：\(L=\frac{1}{2}m_1 \dot{\bm x}_1^2+\frac{1}{2}m_2 \dot{\bm x}_2^2-V(|\bm x_1-\bm x_2|)\)。

约化质量：运用质点系动能公式\(L=\frac{1}{2}M \dot{\bm R}^2+\frac{1}{2}m \dot {\bm x}^2-V(|\bm x|)\)，其中\(\bm x=\bm x_1-\bm x_2\)，约化质量\(m=m_1m_2/(m_1+m_2)\)。在质心系下讨论问题，即参考系变换到\(\dot{\bm R}=0\)。

极坐标形式：在二维运动平面内讨论问题，\(L=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{1}{2} m r^2 \dot\theta^2-V(r)\)。

开普勒第二定律：角动量\(J=mr^2\dot{\theta}=m|\bm r\times \bm p|\)守恒，即单位时间行星扫过的面积 \(J/2m\)为常数。

能量守恒：能量\(E=\frac{1}{2}m \dot r^2+J^2/(2mr^2)+V(r)\)守恒。有效势能\(V_\text{eff}(r)=V(r)+J^2/(2mr^2)\)，第二项代表离心势能。

运动方程：\(dr/dt=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(r))-J^2/(m^2r^2)}\)，\(d\theta/dt=J/(mr^2)\)。

轨道方程：联立运动方程，得到

\[\begin{align*} \theta=\int_{r_0}^r dr'\frac{(J/{r'}^2)}{\sqrt{2m(E-V(r'))-J^2/{r'}^2}}+\theta_0 \end{align*} \]

开普勒问题：设\(V(r)=-\alpha/r\)（\(\alpha=GMm\)），

\[\theta=-\int^{x=J/r} \frac{dx}{\sqrt{2mE+\frac{m^2\alpha^2}{J^2}-(x-\frac{m\alpha}{J})^2}}=\arccos\left[ \left(\frac{2mE}{J^2}+\frac{m^2\alpha^2}{J^4}\right)^{-1/2}\left(\frac{1}{r}-\frac{m\alpha}{J^2}\right)\right] \]

开普勒第一定律：\(p/r=1+e\cos\theta,\quad p=J^2/(m\alpha),\quad e=\sqrt{1+2EJ^2/(m\alpha^2)}\)，\(0<e<1\)椭圆轨道，\(a=p/(1-e^2),b=p/\sqrt{1-e^2}\)。

开普勒第三定律：周期为 \([\pi p^2/(1-e^2)^{3/2}]/(J/2m)=2\pi a^{3/2}\sqrt{m/\alpha}\)。

排斥的势：\(-\alpha\rightarrow \alpha\)，\(e>1\)，为双曲线：\(p/r=-1+e\cos\theta\)。

卢瑟福散射：\(J=mvR,J^2=2mER^2\)，设 \(\theta\) 为散射角，\(R\)-\(\theta\)对应关系为\((1+4E^2R^2/\alpha^2)=\cos^{-2}((\pi-\theta)/2)\)，两边求微分得到

\[\begin{align*} &\frac{8E^2}{\alpha^2}R dR=\frac{\cos(\theta/2)}{\sin^3(\theta/2)}d\theta=\frac{1}{2\sin^4(\theta/2)} \sin\theta d\theta\\ &\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{16E^2\sin^4(\theta/2)}=\frac{e^4}{(16\pi E)^2 \sin^4(\theta/2)} \end{align*} \]

6 小振动

爱因斯坦求和约定：对重复出现的指标求和。

拉格朗日量：\(L=\frac{1}{2}a_{ij}(q) \dot{q}_i\dot{q}_j-U(q)\)在稳定平衡位置 \(q_0\)附近小振动，拉氏量一级近似 \(L=\frac{1}{2}T_{ij}\dot q_i\dot q_j-\frac{1}{2}V_{ij}q_i q_j\)，\(V,T\)为对称矩阵。

运动方程：求拉格朗日方程得到\(T_{ij}\ddot q_j+V_{ij}q_j=0\)。

试探解：代入试探解，\((V-T\omega^2)_{ij}b_j e^{i\omega t}=0\)。设\(V\)正定，一定存在可逆坐标变换\(b_i=G_{ij}b'_j\)使得 \(G^T V G,G^T T G\)都是对角矩阵，那么\((b_i)=(G_{1a},\cdots,G_{na})\)就是频率为\(\omega\)的振动模式的振幅，\(G^{-1}\)的每一列就对应每一个广义坐标的简正坐标表示。

7 刚体力学

赌一把它不考。

8 哈密顿力学

哈密顿量：对拉氏量勒让德变换：\(dL=\dot{p_i} dq_i +p_i d{\dot q_i}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\Rightarrow d(p_i\dot q_i-L)=\dot q_i dp_i-\dot{p_i}dq_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt\)，\(H(p,q,t)=p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t)|_{\dot q\Rightarrow p}\)。

哈密顿正则方程： \(\partial H/\partial p_i=\dot q_i,\partial H/\partial q_i=-\dot p_i,\partial H/\partial t=-\partial L/\partial t\)。

泊松括号：\([f,g]=\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\)，那么哈密顿方程可以改写为 \([p_i,H]=\dot p_i,[q_i,H]=\dot{q_i}\)。对力学量 \(f(q,p,t)\)， \(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+[f,H]\)。\([q_i,p_j]=\delta_{ij}\)类似于量子力学中的对易关系。

泊松括号的性质：满足李括号的一切性质。

守恒量：\([f,H]=0\)且 \(\partial f/\partial t=0\)，则 \(f\)为守恒量。例如在有心力场 \(V(r)\) 下 \(\bm p\)不是守恒量，但 \(\bm J=\bm x\times \bm p\)是守恒量。