PHY17 经典力学-夏令营复习第三弹

复习个锤子

1 质点系与守恒律

质心：$M\bm R=\sum m_i \bm r_i\Rightarrow \sum m_i(\bm r_i-\bm R)=\sum m_i \bm r'_i=0$。

总动量：$\bm p=M\bm v=\sum m_i \bm v_i\Rightarrow \sum m_i (\bm v_i-\bm v)=\sum m_i \bm v'_i=0$。

总角动量： $\bm L=\sum \bm r_i\times \bm p_i=\bm R\times \bm p+\sum \bm r'_i\times m_i \bm v'_i$。

总动能： $T=\sum \frac{1}{2} m_i \bm v_i^2=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2$。

势能： 假设内力为保守力， $\bm F_{ji}=-\nabla_i V_{ij}$，$V_{ij}=V_{ji}(|\bm r_i-\bm r_j|)$对应中心力。那么任意两质点间相互作用方向相反且合力矩为零，满足强形式的作用和反作用定律。 $\sum_{i\neq j} \int_1^2 \bm F_{ji}\cdot d \bm s_i=-\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}V_{ij}|^2_1$。假设外力为保守力， $\bm F_i^{(e)}=-\nabla_i V_i$。定义系统的总势能为 $V=\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}$。

总能量：$E=T+V=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2+\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}$。

守恒律：如果满足强形式的作用和反作用定律，外力为保守力，那么系统的动量、角动量、能量守恒。

更一般的守恒律：洛伦兹力不是保守力，不满足强形式的作用和反作用定律，但如果将电磁场的动量、角动量、能量考虑进来，满足更一般的守恒律。

2 理想完整约束与拉格朗日方程

完整约束：约束条件中不含 $\dot{\bm x}_i$：$f(\bm x_i,t)=0$。非完整约束可以含 $\dot{\bm x}_i$，一个例子是硬币在地面上滚动（可以有倾角）。

稳定约束： 约束条件不显含时间：$f(\bm x_i,\dot{\bm x}_i)=0$。不稳定约束可以显含时间，一个例子是一根套在细杆上的圆环，细杆随时间转动。

广义坐标：完整约束系统的所有独立自由度的一个最小集合 $\{q_1,\cdots,q_{3N-k}\}$。 $\bm x_i=\bm x_i(q_1,\cdots,q_{3N-k},t),\quad i=1,2,\cdots,N$。

广义坐标的导数：$\dot{\bm x}_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \dot q_j +\frac{\partial\bm x_i}{\partial t}$。

虚位移： 某一时刻的满足约束条件的变更$\delta \bm x_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \delta q_j$。

理想约束：约束力也就是内力，理想约束被定义为约束力所作的净虚功为零 $\sum \bm F_i^{(c)}\cdot \delta \bm x_i=0$。杠杆、滑轮、理想刚体都满足理想约束条件，有耗散（摩擦）的系统不满足。可以理解为，系统的内力是保守力且内势能 $\sum V_{ij}$保持不变的约束。

达朗伯原理：理想完整约束下 $\sum_i (\bm F_i^{(e)}-\dot{\bm p}_i) \cdot \delta \bm x_i=0\Rightarrow \sum_j Q_j\delta q_j=\sum m_i\ddot{\bm r}_i \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}$，其中 $Q_j=\sum_i\bm F_i^{(e)}\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}$为广义力。

欧拉-拉格朗日方程：理想完整约束的系统，且外力为保守力，$Q_j=\sum_i (-\nabla_i V)\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}=\frac{\partial V}{\partial q_j}$，势函数不依赖于广义速度。那么定义拉格朗日量 $L=T(q_j,\dot q_j,t)-V(q_j,t)$，得到 $\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$。

与速度相关的势：假设广义势函数 $U(q,\dot q,t)$，定义广义力 $Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j}$， $L=T(q,\dot q,t)-U(q,\dot q,t)$，则仍然可以得到拉格朗日方程 $\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$。这被称为单演系统。

带电粒子在电磁场中运动：$L=\frac{1}{2}mv^2-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c$，那么力为$\bm F=-q\nabla \phi + q\dot {\bm A}/c$。

3 最小作用量原理

作用量泛函：$S[q,\dot q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t) dt$，两端点的 $q$固定。这里的拉格朗日量作为 $q,\dot q,t$的函数。

最小作用量原理：系统真实的运动轨道使作用量取极值。也就是说拉格朗日量集成了系统的一切物理信息。

作用量变分：$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q\right)dt$，任意固定两端点的路径变分 $\delta q,\delta \dot q$ 满足 $\delta S=0$，分布积分后得到拉格朗日方程$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$。

正则动量：或者称广义动量 $p_i=\partial L/\partial \dot q_i$。

等价的拉格朗日量：如果 $L\rightarrow L+d f(q,t)/dt$，那么拉格朗日方程不变。

相对论性作用量：构造洛伦兹标量 $S=-mc\int ds$，$ds$为四维时空中粒子的不变距离，$m$为静止质量。$ds=\sqrt{d x_\mu dx^\mu}$，$x^\mu=(ct,\bm x)$，拉格朗日量为 $-mc^2/\gamma=-mc^2\sqrt{1-\bm v^2/c^2}$。多粒子体系可简单推广。

运动方程的四维协变形式：对作用量变分得到$d^2 x^\mu/d s^2=0$。可以定义四动量 $p^\mu=mc (dx^\mu/ds)=(E/c,\bm p)=\gamma(mc,m\bm v)$。

粒子与电磁场耦合：$S=-mc\int ds-\frac{e}{c}\int A_\mu(x) dx^\mu$，四矢势 $A^\mu=(\phi,\bm A)$。可得 $mc(d^2 x_\mu/ds^2)=\frac{e}{c}F_{\mu\nu}\frac{d x^\nu}{ds}$，得到洛伦兹力公式 $\dot{ \bm p}=e\bm E+\frac{e}{c}\bm v\times \bm B$，非相对论极限下回归 $L=T-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c$。

粒子与标量场耦合：$S=-mc\int e^{\Phi(x)}ds$，运动方程为 $\frac{d^2 x^\mu }{ds^2}+\frac{\partial \Phi}{\partial x^\nu}\frac{d x^\mu}{ds} \frac{dx^\nu}{ds}=\frac{\partial \Phi}{\partial s}$。如果取 $\Phi=V/mc^2$，则非相对论极限下回归 $L=T-V$。

4 对称性

时间平移不变：$\partial L/\partial t=0$，那么 $E=p_i\dot q_i-L$是守恒量。如果是保守系统，且动能 $T$是 $\dot q_i$的二次齐次函数，那么$E=T+V$，也就是说能量守恒。

空间平移不变：$\sum \partial L/\partial \bm x_i=0$，那么 $\bm P=\sum \bm p_i=0$是守恒量。

空间转动不变：设绕$\hat{\bm \theta}$轴的转动下拉格朗日量不变，$\partial L/\partial \theta=0$，那么$\partial L/\partial \dot\theta$为守恒量。对称变换为 $\delta \bm x_i=\delta \bm \theta\times \bm x_i$，那么 $\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}=\sum \frac{\partial \bm x_i}{\partial \theta}\cdot \bm p_i= \sum \frac{\delta \bm \theta\times \bm x_i}{\delta \theta}\cdot \bm p_i=\sum \bm x_i\times \bm p_i \cdot \hat {\bm \theta}=\bm J\cdot \hat{\bm \theta}$为守恒量。如果拉格朗日量具有$SO(3)$旋转不变性，那么角动量$\bm J$守恒。

诺特定理：对称性对应守恒量。

标度不变：势能$U(\lambda\bm x_1,\cdots)=\lambda^k U(\bm x_1,\cdots)$，动能 $T((\lambda/\lambda_t)\dot{\bm x}_1,\cdots)=(\lambda/\lambda_t)^2 T(\dot{\bm x}_1,\cdots)$。当 $\lambda_t=\lambda^{1-k/2}$时拉氏量整体放缩一个因子，运动方程不变。例如开普勒问题中$k=-1$，$\lambda^t=\lambda^{3/2}$，所以开普勒第三定律表明周期的平方正比于轨道尺寸的立方。

维里定理：势能 $U(\bm x_1,\cdots)$不含速度，体系动能 $T$是速度的二次齐次函数，那么 $2T=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial T}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \frac{d}{dt}(\bm x_i\cdot \bm p_i)-\bm x_i\cdot \dot{\bm p}_i$。假设系统局限在有限区域内运动，对时间取长时间平均，得到 $2\langle T\rangle = \langle\sum_i \bm x_i\cdot \frac{\partial U}{\partial \bm x_i}\rangle$。若势能是坐标的 $k$次齐次函数，那么 $2\langle T\rangle = k\langle U\rangle$。

时间反演不变：$t\rightarrow -t,\dot{\bm x}\rightarrow -\dot{\bm x}$，若拉氏量含速度一次项那么将破坏时间反演不变，例如阻尼系统。电磁场中的粒子，拉氏量含 $\dot{\bm x}\cdot \bm A$项，$\bm A\rightarrow -\bm A$使系统时间反演不变。$\bm E\rightarrow \bm E,\bm B\rightarrow -\bm B$。

空间反演不变：$\bm x\rightarrow -\bm x,\dot{\bm x}\rightarrow -\bm{\dot x},\bm A(\bm x)\rightarrow -\bm A(-\bm x)$，且势能函数满足空间反演不变，那么系统空间反演不变。$\bm E\rightarrow -\bm E,\bm B\rightarrow \bm B$，磁场为轴矢量。

5 中心势场

拉格朗日量：$L=\frac{1}{2}m_1 \dot{\bm x}_1^2+\frac{1}{2}m_2 \dot{\bm x}_2^2-V(|\bm x_1-\bm x_2|)$。

约化质量：运用质点系动能公式$L=\frac{1}{2}M \dot{\bm R}^2+\frac{1}{2}m \dot {\bm x}^2-V(|\bm x|)$，其中$\bm x=\bm x_1-\bm x_2$，约化质量$m=m_1m_2/(m_1+m_2)$。在质心系下讨论问题，即参考系变换到$\dot{\bm R}=0$。

极坐标形式：在二维运动平面内讨论问题，$L=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{1}{2} m r^2 \dot\theta^2-V(r)$。

开普勒第二定律：角动量$J=mr^2\dot{\theta}=m|\bm r\times \bm p|$守恒，即单位时间行星扫过的面积 $J/2m$为常数。

能量守恒：能量$E=\frac{1}{2}m \dot r^2+J^2/(2mr^2)+V(r)$守恒。有效势能$V_\text{eff}(r)=V(r)+J^2/(2mr^2)$，第二项代表离心势能。

运动方程：$dr/dt=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(r))-J^2/(m^2r^2)}$，$d\theta/dt=J/(mr^2)$。

轨道方程：联立运动方程，得到

$$\begin{align*} \theta=\int_{r_0}^r dr'\frac{(J/{r'}^2)}{\sqrt{2m(E-V(r'))-J^2/{r'}^2}}+\theta_0 \end{align*}$$

开普勒问题：设$V(r)=-\alpha/r$（$\alpha=GMm$），

$$\theta=-\int^{x=J/r} \frac{dx}{\sqrt{2mE+\frac{m^2\alpha^2}{J^2}-(x-\frac{m\alpha}{J})^2}}=\arccos\left[ \left(\frac{2mE}{J^2}+\frac{m^2\alpha^2}{J^4}\right)^{-1/2}\left(\frac{1}{r}-\frac{m\alpha}{J^2}\right)\right]$$

开普勒第一定律：$p/r=1+e\cos\theta,\quad p=J^2/(m\alpha),\quad e=\sqrt{1+2EJ^2/(m\alpha^2)}$，$0<e<1$椭圆轨道，$a=p/(1-e^2),b=p/\sqrt{1-e^2}$。

开普勒第三定律：周期为 $[\pi p^2/(1-e^2)^{3/2}]/(J/2m)=2\pi a^{3/2}\sqrt{m/\alpha}$。

排斥的势：$-\alpha\rightarrow \alpha$，$e>1$，为双曲线：$p/r=-1+e\cos\theta$。

卢瑟福散射：$J=mvR,J^2=2mER^2$，设 $\theta$ 为散射角，$R$-$\theta$对应关系为$(1+4E^2R^2/\alpha^2)=\cos^{-2}((\pi-\theta)/2)$，两边求微分得到

$$\begin{align*} &\frac{8E^2}{\alpha^2}R dR=\frac{\cos(\theta/2)}{\sin^3(\theta/2)}d\theta=\frac{1}{2\sin^4(\theta/2)} \sin\theta d\theta\\ &\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\alpha^2}{16E^2\sin^4(\theta/2)}=\frac{e^4}{(16\pi E)^2 \sin^4(\theta/2)} \end{align*}$$

6 小振动

爱因斯坦求和约定：对重复出现的指标求和。

拉格朗日量：$L=\frac{1}{2}a_{ij}(q) \dot{q}_i\dot{q}_j-U(q)$在稳定平衡位置 $q_0$附近小振动，拉氏量一级近似 $L=\frac{1}{2}T_{ij}\dot q_i\dot q_j-\frac{1}{2}V_{ij}q_i q_j$，$V,T$为对称矩阵。

运动方程：求拉格朗日方程得到$T_{ij}\ddot q_j+V_{ij}q_j=0$。

试探解：代入试探解，$(V-T\omega^2)_{ij}b_j e^{i\omega t}=0$。设$V$正定，一定存在可逆坐标变换$b_i=G_{ij}b'_j$使得 $G^T V G,G^T T G$都是对角矩阵，那么$(b_i)=(G_{1a},\cdots,G_{na})$就是频率为$\omega$的振动模式的振幅，$G^{-1}$的每一列就对应每一个广义坐标的简正坐标表示。

7 刚体力学

赌一把它不考。

8 哈密顿力学

哈密顿量：对拉氏量勒让德变换：$dL=\dot{p_i} dq_i +p_i d{\dot q_i}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\Rightarrow d(p_i\dot q_i-L)=\dot q_i dp_i-\dot{p_i}dq_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt$，$H(p,q,t)=p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t)|_{\dot q\Rightarrow p}$。

哈密顿正则方程： $\partial H/\partial p_i=\dot q_i,\partial H/\partial q_i=-\dot p_i,\partial H/\partial t=-\partial L/\partial t$。

泊松括号：$[f,g]=\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}$，那么哈密顿方程可以改写为 $[p_i,H]=\dot p_i,[q_i,H]=\dot{q_i}$。对力学量 $f(q,p,t)$， $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+[f,H]$。$[q_i,p_j]=\delta_{ij}$类似于量子力学中的对易关系。

泊松括号的性质：满足李括号的一切性质。

守恒量：$[f,H]=0$且 $\partial f/\partial t=0$，则 $f$为守恒量。例如在有心力场 $V(r)$ 下 $\bm p$不是守恒量，但 $\bm J=\bm x\times \bm p$是守恒量。