PHY15 复变函数基础（夏令营复习第一弹）

赌一把它不考偏微分方程……

目录

• 1 基本定义
• 2 解析函数
• 3 多值函数
• 4 复变积分
• 5 复变积分的其他结论
• 6 解析函数的幂级数展开

1 基本定义

复数： $a+bi$。

序列极限存在的柯西充要条件： 对任意 $\epsilon$，存在 $N$，使得对任意正整数$p$， $|z_{N+p}-z_N|<\epsilon$。

无穷远点：对于无界序列，无穷远点是它的一个聚点。

复变函数：$f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)$。

导数：$f'(z_0)=\lim\limits_{z\rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$，与 $z$趋于 $z_0$的方式无关，如果 $f'(z_0)$存在则该点处可导。

2 解析函数

解析函数：区域 $G$ 内每一点都可导。

柯西黎曼条件： $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y, \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$，是函数在这一点可导的必要条件，不是充分条件。

如果四个偏导数在这一点处连续，且满足柯西黎曼条件，那么这一点处可导。

解析函数的必要条件：区域 $G$内满足柯西黎曼条件。也就是说 $\nabla u$和 $\nabla v$在复平面上正交， $u,v$的等高线形成两族互相正交的曲线。 由柯西黎曼条件可得 $\nabla^2 u=\nabla^2 v=0$。

函数在某点解析：在该点及其邻域内处处可导。

奇点：在该点不解析，或者无定义。

无穷远点是否解析：作变换 $t=1/z$，再判断 $f(1/t)$在 $t=0$处的解析性。

初等函数：$z^n,e^z,\sin z,\cos z,\sinh z,\cosh z$（试分析它们的奇点）。

保角性：解析函数 $f$ 从$G$映射到 $f(G)$是保角的变换，这可以从导数公式看出。例如变换 $z\rightarrow 1/z$是圆反演，是保角的变换。

3 多值函数

根式函数： $\sqrt{z-a}$，多值体现在$z-a$幅角的多值性；$a$ 称为枝点，当 $z$绕它一周回到原点，函数值变为 $\exp(i\pi)$ 倍；无穷远点 $\infty$也是枝点。可以将$z=a$与 $\infty$两个枝点连一条割线，割线两侧的宗量$z-a$幅角发生 $2\pi$的突变，以此规定割线以外的全空间的宗量的幅角值。函数在割线以外解析，形成单值解析的分支。$\sqrt{z-a}$ 共有两个单值分支。类似地，$\sqrt{(z-a)(z-b)}$有两个枝点 $z=a,z=b$，无穷远点是奇点但不是枝点。$((z-a)(z-b))^{1/3}$中 $z=a,z=b,z=\infty$都是枝点。

黎曼面：将根式函数 $\sqrt{z-a}$ 的两个单值解析的分支沿着割线拼起来，形成的二叶的曲面，是连通的一维复流形。可以推广到其他多值函数。

对数函数：$\ln z=\ln|z|+i(\arg z+2n\pi),\ (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$，有无穷多个单值分支，形成无穷多叶的黎曼面。对于每个单值分支，都有 $\frac{d}{d z}(\ln z)=1/z$。

反三角函数： $\arcsin z=\frac{1}{i} \ln (iz+\sqrt{1-z^2})$， $\arccos z=\frac{1}{i}\ln(z+\sqrt{z^2-1})$， $\arctan z=\frac{1}{2i}\ln \frac{1+iz}{1-iz}$。

幂函数：$z^\alpha=\exp(\alpha \ln z)$，其中 $\alpha$可以是任意复数。

4 复变积分

单连通区域的柯西定理：如果函数在单连通区域 $\bar G$中解析，那么沿 $\bar G$中任何一个分段光滑的闭合轨道 $C$的积分为 $0$：$\oint_C f(z) dz =0$。这个闭合轨道可以是$G$的边界。

推论：如果函数在单连通区域 $\bar G$中解析，那么复变积分 $F(z)=\int_{z_0}^z f(w) dw$与路径无关。

不定积分：如果函数在单连通区域 $\bar G$中解析，可以在其中作不定积分，例如$\int z dz=\frac{1}{2}z^2+C$。而 $1/z$由于的$0$为奇点，其解析区域不是单连通的，可以从 $0$到 $\infty$割一条线，割线以外是单连通区域，在其中作复变积分得到割线以外单值解析的函数 $\ln z+C$。

原函数：与导函数相对，$\Phi'(z)=f(z)$，则 $\Phi(z)$为 $f(z)$的原函数。区域 $\bar G$中，不定积分 $\int f(z) dz$是 $f(z)$的原函数。

复连通区域的柯西定理：区域 $G$内有多个洞，则绕 $C_0$的圈积分 $\oint_{C_0} f(z) dz$可以转化为分别绕 $C_0$内部的每个洞的多个圈积分 $\oint_{C_i} f(z) dz$的和。

求 $z^n$圈积分：设圈 $C$绕原点一圈（逆时针）。如果 $n=-1$，那么 $\oint_C z^n dz=2\pi i$，如果 $n$取其他整数则为 $0$。

有界区域柯西积分公式：设 $f(z)$在闭合轨道 $C$上和 $C$内部解析，那么 $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz$，圈积分逆时针绕 $a$一圈。

留数定理：区域 $G$内除了极点以外处处解析，那么闭合轨道的圈积分（逆时针）等于 $2\pi i$乘以轨道内部的一节极点的留数之和。

有理三角函数积分： $\int_0^{2\pi}d\theta\rightarrow \oint_{C(R)} dz/(zi)$，$\cos\theta\rightarrow (z+R^2/z)/2$，$\sin\theta\rightarrow (z-R^2/z)/2i$。

例题（去年夏令营第一题）： 求$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1-2p\cos\theta+p^2},p>0,p\neq 1$。设 $z=p\cos\theta+ip\sin\theta$，那么 $z^*=p^2/z$。转变为复变积分 $\oint_{C(p)} \frac{dz}{(z-1)(p^2/z-1)(zi)}$，被积函数有两个一阶极点 $z=1$和 $z=p^2$，留数为 $i/(1-p^2)$和 $i/(p^2-1)$。运用留数定理，可以得到，当 $p>0,p\neq 1$时，积分结果为 $2\pi/|p^2-1|$。

5 复变积分的其他结论

大圆弧引理：如果 $f(z)$在 $\infty$邻域内连续，当 $\theta_1\le \arg z\le \theta_2,z\rightarrow \infty$时 $z(f_z)$一致趋于 $K$，那么 $\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{C_R} f(z) dz=iK(\theta_2-\theta_1)$。其中 $C_R$为$\arg z \in[\theta_1,\theta_2]$的圆弧。

有界区域柯西积分公式：设 $f(z)$在闭合轨道 $C$上和 $C$外部解析，那么 $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz$，圈积分顺时针且 $a$在 $C$外部。

解析函数高阶导数： 设 $f(z)$在单连通区域$\bar G$内解析，$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} d\xi$。

柯西不等式： 设 $f(z)$在单连通区域$\bar G$内解析，$|f^{(n)}(z)|\le \frac{n!}{2\pi} \frac{Ml}{d^{n+1}}$，其中 $M$是 $C$上的最大值， $l$为 $C$的长度，$d$为$z$与 $C$上一点的最短距离。

最大模定理：$f(z)$是单连通闭区域 $\bar G$中解析函数，那么模 $|f(z)|$的最大值在 $\bar G$边界上。提示：可以对 $f(z)^m$运用柯西定理，再取 $m\rightarrow \infty$。

刘维尔定理：如果 $f(z)$在全平面解析（也就是整函数），而且 $z\rightarrow \infty$时 $|f(z)|$有界，那么 $f(z)$是一个常数。可以用它证明代数基本定理。

均值定理： $f(z)$是单连通闭区域 $\bar G$中解析函数，那么$f(a)$等于以 $a$为圆心的完全位于 $G$内的任意圆周上函数值的平均：$f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a+R e^{i\theta}) d\theta$。

6 解析函数的幂级数展开

洛朗定理：以 $b$为圆心的某个环形区域$R_1<|z-b|<R_2$上 $f(z)$单值解析，那么环形区域中可以幂级数展开为 $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-b)^n$，$R_1<|z-b|<R_2$。

洛朗展开的系数： 洛朗展开具有唯一性。由柯西积分公式可以得到$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi-b)^{n+1}} d\xi$。

单值函数的孤立奇点：某个奇点的一个领域内处处可导。可以在某个环形邻域内洛朗展开。

可去奇点：展开式中无负幂次项，那么是可去奇点。洛朗级数在可去奇点处也收敛。

极点：展开式中有限个负幂次项。$b$是极点，当且仅当 $b$ 是孤立奇点且在 $b$ 处存在极限 $\infty$，函数在 $b$附近无界。根据最低的负幂次项 $(z-b)^{-m}$可以定义它为 $m$阶极点。

本性奇点：无限个负幂次项。当 $z\rightarrow b$时极限不存在。例如 $z=0$是 $e^{1/z}$的本性奇点。

无穷远点：作变换 $t=1/z$然后可以作类似的讨论。 $z=\infty$是 $e^z,\sin z,\cos z,\cdots$的本性奇点。

整函数：全平面解析。除了 $z\rightarrow \infty$的特殊情形（此时整函数一定是常数），无穷远点一定是奇点。整函数是在全空间收敛的幂级数 $\sum_{n\ge 0} a_n z^n$。

整函数取对数：如果整函数无零点，那么一定可以表示为 $\exp(g(z))$，其中 $g(z)$为整函数。

亚纯函数：除了极点以外，在有限远处都解析。那么任意一个有限区域内一定只有有限个极点（否则就存在非孤立奇点了）。如果全空间内只有有限个极点（$\infty$为常点或极点），那么亚纯函数一定可以表示为两个多项式相除。进一步地可以证明亚纯函数可以表示为两个无公共零点的整函数之商。