PHY6. 学习量子霍尔效应
下周二的讨论班轮到我了，这次准备的主题是量子霍尔效应，然而坑太大，好多东西还没学。这大概是一个很大的挑战，需要在一周之内查阅各种教材和综述，整理出一个合理的学科逻辑，并对讨论班内容进行一定的抉择，选定一条主线开始讲座。
以下是最近搜集的各方面的资料：
基础参考资料：
David tong 的 QHE，知乎上各个文章和综述。
拓扑绝缘体相关，历史介绍和综述：
- PhysRevB.78.195424
- A short course in topological insulators
- 各大 zhihu 文章（论文跳板）
更多参考资料（偏理论，且风格各异）：
- Altland A, Simons 的凝聚态场论第7章（线性响应理论）第9章（拓扑场论）；
- Topological Insulators and Topological Superconductors (B. Andrei Bernevig, Taylor L. Hughes)，第2,3,6章
- Nagaosa 最后一章（Chern simons 场论）
- 文小刚的多体 第4,7章
更多参考资料（偏数学）：
- Nakahara （拓扑量子场论相关的数学简介）；
- https://www.bilibili.com/video/BV1A3411n7U2 拓扑量子场论
下面是11.09号开始的6天时间内疯狂学习日记……
2022.11.09
为什么需要拓扑场论？在我已知的范围内，量子霍尔效应等许多物理现象背后更本质的原因是拓扑的——一些物理可观测量对时空形状是不敏感的，这意味着理论背后有一个拓扑不变量，这推动人们去建立一个数学理论去描述这些现象。描述某个物理系统的基础语言是场论；Schwinger作用量原理以及路径积分形式理论可以作为一个理论生成器，在这个形式理论中，体系的对称性蕴含在了作用量之中，这使得人们能够研究与背景时空流形相关的那些对称性。
如果某个场的作用量泛函，是不依赖于时空形状的，或者说拉氏量密度是不依赖于度规的，那么这个作用量就是拓扑的。这导致的结果式，算符期待值的计算结果，或理论所预言的一些可观测量，也是不依赖于时空形状的，这是一件非常美妙的事情。一个典型的粒子就是，2+1维Chern-Simons场论可以写为
其中 \(M\) 是一个可定向的三维流形，\(A=A_\alpha T^\alpha\) 是 \(G\)-主丛上的一个联络，\(T^\alpha\) 为\(G\) 的生成元。当 \(G\) 取 \(U(1)\) 群时，Chern-Simons 场论就是量子霍尔效应的低能有效理论，因此理论才会有 TKNN 不变量等拓扑性质。
20:00 看 Altland 第 9 章继续学习拓扑场论。9.1：一个拓扑作用量的例子：位于环上的一个粒子，环内有磁通量通过。9.2：同伦群的例子。
21:00 看 9.3: theta term。这一章的内容似乎比较多，从9.3.1到9.3.7，其中从9.3.4开始讲量子霍尔效应。
承接 9.1 节所讲述的最简单的例子，可以将场构型按照同伦类分类
22:00 聊天聊嗨了，一直聊到24:00…… 明天接着看吧。睡了。
2022.11.10
11:30 看 David Tong，学 Laughlin 波函数。
下午：Laughlin 波函数，任意子，与分数量子霍尔效应看得差不多了。不过还有些问题没有搞明白。其一是基态简并度、拓扑序、激发态的分数统计的性质、电导率之间的联系。其二是其中的拓扑究竟是怎样的，如何与Chern-simons场论相联系。
19:30 FQH 态的低能有效理论是 Chern-Simons 理论。看冯小刚的 7.1和7.2。
草啊，不想学习，只想玩。
22:30 看 Nagaosa 最后一章。同样是讲 Chern-Simons。
2022.11.11
上午 Nagaosa 看了一小部分，看得有点晕。于是去搜了下相关推导：
玻色化方法（五.1）——基本的分数量子霍尔效应理论 - 浅斟低唱的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/43265035
文中还提到了用玻色化方法构造 Chern-Simons 作用量的方法。下午研究研究。
15:00 找到了一个 Altland 的阅读笔记，正好 CS 场这一块看不懂，囤着晚上看。
量子场论中的拓扑（Altland CMPFT Chap.9 读书报告） - O空O扬O的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/530870173
晚上有事所以没学……
22:00 继续看 David Tong 的 Chern-Simons 部分。感觉 David Tong 写得更平易近人。
不知不觉开始看番……算是一部摇滚剧《BECK》
https://music.163.com/#/song?id=22793561
https://music.163.com/#/song?id=22793566
2022.11.12
已经周六了……
一直没有学明白 Chern-Simons 场论的原因大概是因为，高能物理中的有效场论与无序金属的有效场论所关注的角度不同，而我对前者略知一二，对后者毫无了解。
以及许多概念对我来说是陌生的。
https://www.zhihu.com/question/36539312/answer/424497746
https://zhuanlan.zhihu.com/p/159499648
https://zhuanlan.zhihu.com/p/159459305
下午：在 David Tong 和文小刚这两本书里反复横跳……很是折磨。很是担心自己能否把这次讨论班顺利继续下去
晚上：听凝聚态本研和专业分流。草他们在讲什么啊怎么完全听不懂。睡着了。
他们好像提到了好多次量子霍尔效应，这大概意味着我现在在学的东西很重要吧。
晚上：写qft的作业。。。世界上为什么要有作业这种东西。。。
大概写到1:30 终于写完qft的作业。
ddl从5个减到了4个！
2022.11.13
下午：
看看 witten 的 lecture 吧 https://arxiv.org/pdf/1510.07698.pdf
好多IQHE的东西忘了。看 David tong 的前两章，并复习了一会儿整数量子霍尔效应。
计划一下讨论班的内容：
- 前一个同学介绍完朗道能级、存在电场时单电子波函数的行为、IQFT 的推导之后，仍然需要一定篇幅来解释为什么会形成霍尔电导平台。
- 因此 1-1，我会简要介绍一下无序系统中杂质所扮演的重要角色——Anderson局域化、能带有一定展宽、局域态不导电，扩展态导电，因此形成电导平台。
https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/phys/theoretical-physics/cmtm-dam/documents/tqn/03.pdf - 虽然 Anderson 局域化定性地解释了电导平台，但是我们还需要定量地解释电导的量子化。而且在考虑杂质以后，先前的对霍尔电导的推导似乎是不严格的。
因此 1-2，会简要介绍一下朗道能级的 Spectral Flow；以及杂质存在时的 Spectral Flow——虽然相对于朗道能级的 Spectral Flow，局域态变得不导电了，但是扩展态是参与导电的，而且在 Spectral Flow 的图景下，其净效应就给出了相应的量子化电导。 - 1-2实际上有拓扑的味道了，但还没有被彻底揭示出来。
因此 1-3，kubo 公式，电导率和 Chern-number，TKNN不变量。
为此好像还得讲讲 Berry 相。草，内容真多。 - 到目前为止还停留在 David tong 的第二章。但我这几天学的都是 Chern simons 相关的东西。所以……
- 2-1 从有效场论的视角，构造 Chern-simons 作用量。
参考 1. 文小刚 2. Altland 3. 如果12读不懂就再看看https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/phys/theoretical-physics/cmtm-dam/documents/tqn/08.pdf - 2-2 分析 Chern-simons 作用量，其“几乎”规范不变性（规范变换的函数非单值得函数，即在大规范变换下，\(e^{iS}\) 不变）给出了量子化电导。
参考 David Tong. - （视情况讲讲 https://zhuanlan.zhihu.com/p/43265035，参考 Altland）
- 3-1 构造分数量子霍尔效应（FQHE）的 Chern-Simon 理论。
- 3-2 由上面的 Chern-Simon 作用量推出 Laughlin 波函数、任意子、分数统计……
上面的东西压缩在30-40分钟内讲完是比较困难的，可能要视情况删掉一些东西……
更何况有些东西我还没有学完……
爷不学了！晚上去玩了！
又是传统的阴间作息。1:00，ppt 做完了1-3 的部分。啊好累啊……还有ddl没干……
2022.11.14
截至17:00，写完了 1-5 的部分……
剩下 Chern-simons 场论的部分。
截至24:00，写完了 1-6 部分…… 为什么会写这么慢呢，其实是因为一直在读……有效场论部分一有疑问就忍不住停下来想……
不过好在大致想明白了一直没有理解的一些地方。
例如此处，我们研究的对象是绝缘体的重要性，正因为没有低能激发，我们才能够作这样的假设：不存在低能的自由度（甚至拓扑的自由度）影响体系被微扰时的物理。
这也是研究凝聚态的有效场论中非常重要的假设，甚至可以作为第一性原理。在写出有效作用量时，我们就能够讲那些费米子场算符或其他自由度给积分掉，得到以背景电磁场为参数的有效作用量。也因此，有效作用量蕴含了系统对电磁场的低能响应的信息。
在分数量子霍尔效应中，则存在拓扑自由度需要考虑…… 问题将变得复杂。
anyway，如果有空的话还有一个问题待解决，即上图所示的“没有低能耗散”的数学推导。这大概是响应理论的“涨落耗散定理”，可以看 David tong 的讲义。
现在来写 6,7。也就是说，我们在构造有效作用量时，虽然有许多候选项，但它们被一些对称性所限制，而且必须是局域的作用量。根据有效场论的量纲分析，还可以知道它的耦合常数量纲不能为负。这使得2+1维除了规范场动能项，我们还可以写出一个 Chern-simons 项。
2022.11.15
截至14:00，写完7…… PPT已经25页了，看来内容不能再多了。在写PPT的时候终于开始理解了不少东西。
所以最后内容大致只涉及了整数量子霍尔效应和它的有效场论。
还有一个小时开讲。先得去吃午饭。
讨论班结束了…
唉绷不住了，
开讲前：没人比我更懂量子霍尔效应！
开讲后：我在说啥啊，别，我别停止思考啊…
结结巴巴地并且语无伦次地度过了一些问题…满脑子全是一些公式和连接若干个概念的印象，却无法用语言进行梳理和解释…
最后，接近讲了50分钟，超时20分钟，甚至还没讲到分数量子霍尔效应（还差三张ppt…）。
草…
害 赶ddl罢
