代数方法在图论中的精彩应用

目录

• Preface
• Graham-Pollack theorem
• Friendship Theorem
• Pyber Theorem (Regular subgraphs of dense graphs)
• Huang Hao Theorem (Induced subgraphs of hypercubes and a proof of the Sensitivity Conjecture)

Preface

一直想对GTAC讨论班的一些精彩内容做一次整理，却一直挖不出时间来。昨晚我们在讨论班教室吃披萨，喝果汁，听了一些代数方法在图论中的应用，度过了愉快的平安夜。新的一年（和ddl）快要来了，是时候做个整理了。

由于 eden 上课不做笔记，忘记了一些定理的名字以及来源，再由于时间关系 eden 不能整理得特别详细。所以凑合着看吧 ：）

Graham-Pollack theorem

Theorem 1. (Graham-Pollack theorem) 若完全图 $K_n$ 可以表示为 $m$ 个互不相交的完全二分图的并，则 $m\ge n-1$。

设图 $K_n$ 的邻接矩阵为 $A$，那么 $A=J-I$（约定 $J$ 为全 $1$ 矩阵，$I$ 为单位矩阵）。

如果 $K_n$ 的一个子图 $G$ 是完全二分图，一边的点集为 $V_1$，另一边的点集为 $V_2$。那么该子图的邻接矩阵 $B$ 满足：$B_{x,y}=B_{y,x}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2$。所以 $B$ 可以拆成一个秩一矩阵与它的转置之和：$B=C^T+C\ (C_{x,y}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2)$。

$K_n$ 可以拆成 $m$ 个互不相交的完全二分图的并，所以 $A$ 可以表示为 $(C_1+\cdots+C_m)^T+(C_1+\cdots+C_m)$，其中 $C_1,\cdots,C_m$ 都是秩一矩阵。可以推出：

$$\begin{align} I&=J-A=(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)^T+(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)\\ &=D^T+D \tag{1.1} \\设\ D&=\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m \end{align}$$

假设 $m<=n-2$，那么 $rank(D)\le rank(J)+rank(C_1)\cdots+rank(C_m)=n-1$，

取 $D$ 的右零空间中的一个非零向量 $\boldsymbol \alpha$，在 $(1.1)$ 式中左乘 $\boldsymbol \alpha^T$，右乘 $\boldsymbol \alpha$，$(1.1)$ 式变为：

$$\boldsymbol \alpha^TI\boldsymbol \alpha=(D\boldsymbol \alpha)^T\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \alpha^T(D\boldsymbol \alpha)=0\tag{1.2}$$

这与 $\boldsymbol \alpha$ 是非零向量矛盾。所以 $m\ge n-1$。Q.E.D.

Friendship Theorem

Theorem 2. (Friendship Theorem) 图 $G=(V,E)$ 中任意两个点 $a,b$ 有且仅有一个公共邻居，则一定有一个点的度数为 $n-1$（$n=|V|$）。

容易发现，风车状的图是满足定理条件的：

下面先证明：若 $a,b$ 不相连，则 $d(a)=d(b)$（约定 $d(x)$ 为 $x$ 的度数）。

设 $a$ 与 $b$ 的公共邻居为 $c$（$c$ 存在且唯一），$a$ 的其他邻居为 $x_1,\cdots,x_p$，$b$ 的其他邻居为 $y_1,\cdots,y_q$。又 $a$ 与 $c$ 有且仅有一个公共邻居，那么不妨设这个公共邻居为 $x_1$，那么 $x_2,\cdots,x_p$ 与 $c$ 都不相连。同理，不妨设 $b$ 与 $c$ 的公共邻居为 $y_1$，那么 $y_2,\cdots,y_q$ 与 $c$ 都不相连。还可以推出 $x_1$ 与 $y_j(1\le j\le q)$ 都不相连，否则 $b$ 与 $x_1$ 的公共邻居就不唯一了。同理，$y_1$ 与 $x_i(1\le i\le p)$ 都不相连。

现在考虑 $x_2,\cdots,x_p$ 与 $y_2,\cdots,y_q$ 之间的连边。$a$ 与 $y_2$ 有公共邻居（不能为 $c$），不妨设这个公共邻居为 $x_2$，那么 $x_2$ 与 $y_2$ 相连。再由 $a$ 与 $y_2$ 公共邻居的唯一性，$y_2$ 与其他的 $x_i(i\neq 2)$ 都不相连，同理 $x_2$ 与其他的 $y_j(j\neq 2)$ 都不相连。 用同样的方法继续讨论 $y_3,x_3,\cdots$。最终 $x_2,x_3,\cdots,x_p$ 与 $y_2,y_3,\cdots,y_q$ 一定能通过连边一一对应，这说明 $p=q$，$d(a)=d(b)$。所以，不相连的点度数一定相等。

回到原定理，令 $G$ 的补图 $G'=(V',E')$，则由前面的结论可知，$d(a)=d(b),\forall (a,b)\in E'$。$G'$ 可以拆分为若干个连通分量的并，设它们的点集分别为 $U_1,U_2,\cdots,U_m$，那么每个点集中，点的度数是相同的，且任意两个点集之间无边相连（在原图 $G$ 中任意两个点集都互相连满了边）。对 $m$ 进行讨论：

若 $m\ge2$，那么 $V=U_1\cup (U_2\cup \cdots\cup U_k)=U_1\cup V_1$。当 $|U_1|>1,|V_1|>1$，取 $x_1,x_2\in U_1,y_1,y_2\in V_1$，那么 $y_1,y_2$ 都是 $x_1,x_2$ 的公共邻居，这与条件矛盾。当 $|U_1|=1$ 或 $|V_1|=1$，那么就存在度数为 $n-1$ 的点，命题成立。

若 $m=1$，那么图 $G$ 中所有点度数相同，设每个点度数为 $k$，可以推得 $k$ 与 $n$ 的关系：

$$\begin{align} n\cdot(n-1)/2&=\sum_{i,j}\#(i,j的公共邻居数)=\sum_{x}\#(x的邻居对(i,j)))=nk(k-1)/2\\ n&=k^2-k+1 \tag{2.1} \end{align}$$

$G$ 的邻接矩阵为 $A$，$trace(A)=0$。由条件“任意两个点 $a,b$ 有且仅有一个公共邻居”可知，$A$ 的任意不同的两行点乘为 $1$。又有 $A^T=A$，所以 $A^2=J+(k-1)I$。$J$ 的特征值为 $n(1重),0(n-1重)$，所以 $A^2$ 的特征值为 $n+k-1(=k^2),k-1$，$A$ 的特征值的绝对值为 $k(1重),\sqrt{k-1}(n-1重)$。 $|trace(A)|=|k+a\sqrt{k-1}|=0,a\in \mathbb{Z}$，$k$ 只可能为 $2$。此时 $n=3$，$G$ 为完全图，与 $m=1$ 矛盾。Q.E.D.

Pyber Theorem (Regular subgraphs of dense graphs)

Theorem 3. (Pyber Theorem) 对任意正整数 $k$，存在一个常量 $c_k$，满足：对于充分大的图 $G=(V,E)$，$|V|=n,|E|\ge c_kn\log n$，一定存在一个 $k-regular$ 子图（一个图被称为是 $k-regular$ 的，当且仅当每个点的度数为 $k$）。

这个定理的证明需要有 “Chevalley-Warning Theorem” 的铺垫。

Theorem 3.1. (组合零点定理) $\mathbb{F}$ 为任意一个域，$S_i$ 为包含于 $\mathbb{F}$ 的有限集（$i=1,\cdots,n$），令 $f=f(x_1,\cdots,x_n)$ 为多项式环 $\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$ 中的一个多项式。若 $S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(f)$（$z(f)$ 表示多项式 $f$ 的零点集），那么一定存在 $k_i\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$（$i=1,\cdots,n$），满足：

$$f=\sum_{i=1}^n k_ig_i,\ \deg(k_i)\le \deg f-\deg g_i$$

其中 $g_i=\prod_{g\in S_i}(x_i-g)$。

先将 $x_1$ 看作主元，多项式 $f$ 对 $g_1$ 做带余除法，得到 $f=h_1g_1+r_1$。再将 $x_2$ 看作主元， $r_1$ 对 $g_2$ 做带余除法，得到 $f=h_1g_1+h_2g_2+r_2$。以此类推，最终可以得到：

$$f=h_1g_1+h_2g_2+\cdots+h_ng_n+r_n$$

其中 $r_n$ 的任意变量 $x_i$ 的次数都小于 $\deg g_i=|S_i|$。

$$S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(f)\Rightarrow S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(r_n)$$

下面证明 $r_n$ 是零多项式。

对 $n$ 归纳。当 $n=1$ 时显然。$n>1$ 时，将 $x_n$ 看作主元，$r_n=\sum w_ix_n^i$，其中 $w_i$ 为关于 $x_1,\cdots,x_{n-1}$ 的多项式。当 $x_1,\cdots,x_{n-1}$ 分别取定为 $S_1,\cdots,S_{n-1}$ 中的值后，$r_n'$ 为关于 $x_n$ 的一元多项式，且 $\deg r_n'<|S_n|$。这说明 $r_n'$ 总为零多项式，即 $S_1\times S_2\times \cdots\times S_{n-1} \subseteq z(w_i)$。由归纳假设，所有 $w_i$ 都为零多项式。那么 $r_n$ 也为零多项式。

所以 $r_n$ 为零多项式。容易证明 $\deg(k_i)\le \deg f-\deg g_i$，所以可以令 $k_1=h_1,\cdots,k_n=h_n$。Q.E.D.

Corollary 3.1.1. 若 $f\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$，$S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(f)$，那么 $f$ 的各单项式中必有一个变量 $x_i$ 次数小于等于 $|S_i|$。

Theorem 3.2. (Chevalley-Warning Theorem) $\mathbb{F}_q$ 为 $q$ 元域，$q=p^k$，$p$为素数，$P_1,P_2,\cdots,P_m$ 为 $\mathbb{F}_q[x_1,\cdots,x_n]$ 中的多项式，且 $\sum_{i=1}^n \deg P_i <n$，设 $V=z(P_1)\cap z(P_2)\cap \cdots \cap z(P_m)$，则 $|V|\bmod p=0$。

构造多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$：

$$f=\prod _{j=1}^{m}\left(1-P_j^{q-1}\right)$$

则当 $\boldsymbol x\in V$ 时， $f(\boldsymbol x)=1$；当 $\boldsymbol x\notin V$ 时，$\exist j,P_j\neq 0,P_j^{q-1}=1, f(\boldsymbol x)=0$。所以 $f$ 为 $V$ 的特征函数。问题化为证明：

$$\sum_{x\in \mathbb{F}_q^n} f(x)=0\tag{3.2.1}$$

由于 $\sum_{i=1}^n \deg P_i<n$，我们有 $\deg f<n(q-1)$，所以 $f$ 的各个单项式中必有一个变量次数小于 $q-1$。对于所有 $\boldsymbol v=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\in V$，构造多项式：

$$g_v(x)=\prod_{i=1}^n \left(1-(x_i-v_i)^{q-1}\right)\tag{3.2.2}$$

$g_v(x)$ 是 $\{\boldsymbol v\}$ 的特征函数，而 $f$ 为 $V$ 的特征函数。所以 $h=f-\sum_{\boldsymbol v\in V}g_v$ 恒等于 $0$（$h$ 不一定是零多项式），即：

$$\mathbb{F}_q\times\cdots\times \mathbb{F}_q=z(h)= z\left(f-\sum_{\boldsymbol v\in V}g_v\right)$$

由 Corollary 3.1.1 可知，$h$ 的各个单项式中必有一个变量次数小于 $q-1$。$f$ 已满足此条件，只需考察 $g_v$ 的各单项式。由 $(3.2.2)$ 式可得， $g_v$ 中有单项式 $(-1)^n\prod_{i=1}^n x_i^{q-1}$，而 $\sum_{\boldsymbol v\in V} g_v$ 中不能存在此单项式，所以 $\sum_{v\in V}(-1)^n=|V|(-1)^n=0(\mathbb{F_q})$。域 $\mathbb{F}_q$ 的特征为 $p$，所以 $|V| \bmod p=0$。Q.E.D.

Lemma 3.3. $p$ 为一素数，$q=p^k(k\in \mathbb{N})$，图 $G=(V,E)$，$d(G)\ge 2q-2$，$\Delta(G)=2q-1$（约定 $d(G)$ 为 $G$ 中每个点的平均度数，$\Delta(G)$ 为 $G$ 中度数最大的点的度数）。则 $G$ 中存在 $q-regular$ 子图。

对每条边 $(u,v)\in E$ 分别设定一个变量 $x_i$（或 $x_{(u,v)},x_{(v,u)}$）$,1\le i\le m$，变量个数 $m=|E|>n(q-1)$。再对每个点 $u\in V$，构造域 $\mathbb{F}_q$ 上的多项式 $f_u$：

$$\begin{align} f_u&=\sum_{v\in N(u)}x_{(u,v)}^{q-1}\in \mathbb{F_q}[x_1,\cdots,x_m]\\ &=\sum_{v\in N(u)}[x_{(u,v)}\neq 0] \end{align}$$

其中 $N(u)$ 表示 $v$ 的邻居集合。$[x_{(u,v)}\neq 0]$：当 $x_{(u,v)}$ 不等于 $0$ 时它返回 $1$，其他情况返回 $0$。当各个变量的值确定后，可以根据 $x_{(u,v)}$ 的值选择 $G$ 的一个子图：若 $x_{(u,v)}\neq 0$ ，则选择 $(u,v)$ 加入图 $H$，否则不加入；$H$ 的点集由这些边的端点组成。那么最终 $H$ 中点 $u$ 的邻居个数模 $q$ 等于 $f_u$ 的值。若 $f_u=0$ 对所有 $u\in V$ 成立，那么 $d(u)\bmod q=0,0<d(u)\le 2q-1$，可以直接推出 $H$ 是一个 $q-regular$ 子图（当所有 $x_i$ 都为 $0$ 时，$H$ 为空图，这是例外情况）。所以问题化为证明：

$$\exist \boldsymbol x\neq (0,\cdots,0),\forall u\in V,f_u(\boldsymbol x)=0\tag{3.3.1}$$

因为 $\sum_{u\in V}\deg f_u=n(q-1)<m$，所以由 Theorem 3.2 可得：

$$\left|Z=\bigcap_{u\in V} z(f_u)\right| \bmod p=0$$

易知 $x_i=0,\forall 1\le i\le m$ 是 $f_u(u\in V)$ 的一组公共零点，所以 $|Z|>0$，$|Z|\ge p$，$Z$ 中应至少含有一组非零解，$(3.3.1)$ 式得证。Q.E.D.

Lemma 3.4. 任何图 $G=(V,E)$，一定包含一个二分图子图 $H$，其中一边的点集为 $V_1$，另一边的点集为 $V_2$，满足：$H$ 是 $\delta-half-regular$ 的，$\delta\ge d(G)/4$（一个二分图被称为是 $\delta-half-regular$ 的，当且仅当 $d(v)=\delta,\forall v\in V_1$ 且 $|V_1|\ge|V_2|$）。

若随机将 $V$ 分成两个子集，只保留它们之间的连边，去掉子集内部的边，这样生成的二分图边数的期望为原图边数的 $1/2$（每条边有 $1/2$ 概率被保留）。所以一定存在一个二分图子图 $G'=(V',E')$，满足 $|E'|\ge |E|/2$，$d(G')\ge d(G)/2$。

接下来对 $G'$ 不停地做这样的操作：任取 $V'$ 中度数最小的点 $v$，若 $d(v)<d(G')/2$，就删去点 $v$ 及它连出去的边，删去后边数变为 $|E'|-d(v)=|V'|d(G')/2-d(v)>(|V'|-1)d(G')/2$，所以平均度数一定递增，直到 $d(v)\ge d(G')/2$ 操作停止。此时设得到的新图为 $G''=(V'',E'')$，那么 $d(v)\ge d(G'')/2\ge d(G')/2\ge d(G)/4,\forall v\in V''$，即最小度数的点的度数 $\ge d(G)/4$。

此时的图 $G''$ 仍是二分图，设一边的点集为 $V_1''$，另一边的点集为 $V_2''$。不妨设 $|V_1''|\ge |V_2''|$，对所有 $v\in V_1''$，$d(v)\ge d(G)/4$，可以通过删边使得 $V_1''$ 一侧所有点的度数都为 $\delta$，且 $\ge d(G)/4$。这样得到的新图 $H$ 就是 $\delta-half-regular$ 的。Q.E.D.

Lemma 3.5. 二分图 $G$ 是 $\delta-half-regular$ 的：一边的点集为 $X$，另一边的点集为 $Y$，满足 $|X|\ge |Y|$ 且 $|X|$ 中所有点度数为 $\delta$。若 $G$ 的任何子图都不是 $\delta-half-regular$ 的，那么 $|X|=|Y|$，且存在一组完美匹配。

若 $|X|>|Y|$，则可以从 $|X|$ 中删去一个点得到一个 $\delta-half-regular$ 子图，矛盾。所以 $|X|=|Y|$。

对于 $X$ 的任意子集 $X'$，一定满足 $|N(X')|\ge |X'|$（否则 $X'\cup N(X')$ 就诱导出了更小的 $\delta-half-regular$ 子图）。由 Hall 定理 可得，$G$ 一定存在一组完美匹配。

The Proof of Theorem 3 (Pyber Theorem) 对任意正整数 $k$，存在一个常量 $c_k$，满足：对于充分大的图 $G=(V,E)$，$|V|=n,|E|\ge c_kn\log n$，一定存在一个 $k-regular$ 子图。

一定存在 $q=p^i(i\in \mathbb{N})$，满足 $k\le q\le 2k$（$q$ 是二的幂次时显然）。如果 $G$ 中存在一个 $q-regular$ 子图，且它还是二分图，那么由 Hall 定理 容易证明存在完美匹配，将完美匹配的边删去后就得到了 $(q-1)-regular$ 子图。重复进行这样的操作就可以得到 $k-regular$ 子图。

下面证明：当 $|E|\ge c_q n\log n$ 时，$G$ 中存在一个 $q-regular$ 二分图子图。

$d(G)\ge c_q\log n$，由 Lemma 3.4 可知，$G$ 中存在 $\delta-half-regular$ 子图，$\delta\ge c_q\log n/4$，我们选出其中一个极小的子图 $G_0=(V_0,E_0)$，由 Lemma 3.5 可知，$G_0$ 存在完美匹配，将完美匹配中的边删去之后将得到一个 $(\delta-1)-half-regular$ 子图，再选出其中一个极小的 $(\delta-1)-half-regular$ 子图 $G_1=(V_1,E_1)$ …… 通过一系列这样的操作得到了一个子图序列：

$$G_0=(V_0,E_0),G_1=(V_1,E_1),\cdots,G_{\delta-1}=(V_{\delta-1},E_{\delta-1})$$

序列中对任意 $i<\delta-1$，$G_{i+1}$ 是 $G_i$ 的子图，$G_i$ 是 $(\delta-i)-half-regular$ 的，且存在一个完美匹配，设它的完美匹配为 $A_i$，那么 $A_i$ 的边数为 $|V_i|/2$。考虑以下序列：

$$G_0,G_{2q-2},G_{2(2q-2)},\cdots,G_{s(2q-2)},\ 其中\ s=\left[\frac{\delta-1}{2q-2}\right]$$

由于 $G_{\delta-1}$ 非空，$|V_{s(2q-2)}|>|V_{\delta-1}|\ge 1$，

$$n\ge |V_0|\ge\frac{|V_0|}{|V_{2q-2}|}\frac{|V_{2q-2}|}{|V_{2(2q-2)}|}\cdots\frac{|V_{(s-1)(2q-2)}|}{|V_{s(2q-2)}|}$$

而一定存在充分大的（与 $n$ 无关的） $c_q$，满足 $\left(\frac{2q-2}{2q-3}\right)^s\ge \left(\frac{2q-2}{2q-3}\right)^{c_q\log n}>n$，所以一定存在 $0\le x\le s-1$，满足

$$\frac{|V_{x(2q-2)}|}{|V_{(x+1)(2q-2)}|}<\frac{2q-2}{2q-3}$$

设 $l=x(2q-2),r=(x+1)(2q-2)$，令图 $H=(V_H,E_H)=A_{l}\cup A_{l+1}\cup \cdots\cup A_{r}$，则

$$\begin{aligned} |V_H|&=|V_{l}| \\|E_H|&=|V_{l}|/2+|V_{l+1}|/2+\cdots+|V_{r}|/2\\ &>|V_l|/2+\frac{r-l}{2}|V_{r}|\\ &>|V_l|/2+(q-1)\frac{2q-3}{2q-2}|V_l|=(q-1)|V_l| \end{aligned}$$

所以 $d(H)=2|E_H|/|V_H|>2q-2$。

又因为 $H$ 是 $r-l+1$ 个不相交完美匹配的并，所以 $\Delta(H)= 2q-1$。由 Lemma 3.3 可知，$H$ 中一定存在 $q-regular$ 子图。又因为 $H$ 包含于二分图 $G_0$，所以 $H$ 是 $q-regular$ 的二分图。再由前面的证明可知，一定存在一个 $k-regular$ 子图。Q.E.D.

Huang Hao Theorem (Induced subgraphs of hypercubes and a proof of the Sensitivity Conjecture)

Theorem 4. (Huang Hao Theorem) 令 $Q_n$ 为 $n$ 维超立方体图，它的顶点集由 $\{0,1\}^n$ 中的向量组成，两个向量有边当且仅当它们恰在一个坐标上不同。对任意的 $n$，对 $Q_n$ 的任意一个诱导子图 $H=(V,E)$，若 $|V|=2^{n-1}+1$，则 $\Delta(H)\ge \lceil\sqrt{n}\rceil$，并且这个界是紧的。

一个 $\Delta(H)=\lceil \sqrt{n}\rceil$ 的构造：……

……

打字太累了，eden 放弃了。

详见 [https://arxiv.org/pdf/1907.00847.pdf]