浅谈麦克斯韦方程组与相对论

（咕咕咕

还有什么比发现一条宇宙规律更令人兴奋的呢？翻阅《费恩曼物理学讲义(第二卷)》的过程中，我深深地被Maxwell 方程组吸引，到了《用相对论符号表示的电动力学》章节，已经激动得无法自拔。于是趁着十一假期的一丝空闲，我写了这一份笔记，以复习整理，并能有机会与爱好物理的读者交流吧。

PS：这份笔记更多的是数学的推导，而更重要的物理思想的部分没有提及。精彩的物理思想部分见《费恩曼……》。
PS：我初学电磁，如果有理解不深、思路不对，甚至有错误，希望大家能谅解，欢迎在评论区分享您宝贵的意见，希望能和大家共同学习进步。

参考资料

《费恩曼物理学讲义(新千年版)第2卷》 R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands	①
《经典电动力学》刘川北京大学物理学院	②
《电动力学导论(第3版)》 David J. Griffiths	③

前言

“经典物理学（classical physics）的成就可以浓缩为两个最为成功的理论：一个是经典力学，它包括牛顿力学以及随后发展起来的分析力学（拉格朗日和哈密顿力学）；另一个就是以麦克斯韦方程为代表的经典电动力学。可以毫不夸张地说，这两个经典物理理论几乎含盖了我们日常生活中所遇到地所有物理现象。经典电动力学同时也是相关地电子工程、材料工程、通讯等应用领域中的重要理论基础。经典电动力学在现代物理学理论地发展中也占据了举足轻重地地位，它是狭义相对论诞生的摇篮；同时，经典电动力学中的一些重要概念——例如规范不变性等——更是近代量子场论的核心和基础。” （摘自刘川讲义《经典电动力学》参考资料② ）

这篇笔记中我们将从电学和磁学出发，引入麦克斯韦方程组，并推导电磁波，接着讨论与之有关的狭义相对论，最后整理出用四维符号表示的电动力学方程组。由于介质中的电磁场原则上是我们外加的电磁场和这些介质中的微观粒子所产生的电磁场线性叠加后，再进行某种统计平均的结果，我们将不详细讨论。我们也不会介绍矢量代数、微分运算等数学方法，这些数学方法在David J. Griffiths 写的《电动力学导论》（参考资料③ ）里有详细的介绍。

在这里，先摆上美丽而神奇、简短而深刻的麦克斯韦方程组：

\begin{aligned} \nabla \cdot E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}}; \\ \nabla \times E & = - \frac{\partial B}{\partial t}; \\ c^{2} \nabla \times B & = \frac{\partial E}{\partial t} + \frac{j}{ϵ_{0}} \\ \nabla \cdot B & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol E &= \frac{\rho}{\epsilon_0}; \\ \nabla \times \boldsymbol E &= -\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}; \\ c^2\nabla \times \boldsymbol B &= \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t}+\frac{\boldsymbol j}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \boldsymbol B&=0 \end{aligned}$

引入标量势 $\phi$ 和矢量势 $\boldsymbol A$ 之后，麦克斯韦方程组化为更漂亮的一组方程：

\begin{aligned} \nabla^{2} A - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} & = - \frac{j}{ϵ_{0} c^{2}} \\ \nabla^{2} ϕ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} & = - \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \nabla^2 \boldsymbol A-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol A}{\partial t^2} &= -\frac{\boldsymbol j}{\epsilon_0 c^2}\\ \nabla^2 \phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}&=-\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{aligned}$

“多么漂亮的一组方程！” （摘自《费恩曼物理学讲义第2卷》参考资料① ）

用四维矢量符号可以将它改写成为更简洁优美的形式，这漂亮的形式也有其本身意义（之后会提）：

\begin{aligned} ◻^{2} A_{μ} & = \frac{j_{μ}}{ϵ_{0}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Box^2 A_\mu &= \frac{j_\mu}{\epsilon_0} \end{aligned}$

让我们从静电学和静磁学谈起——

静电学

这里的“静”，是指 “任何事物都与时间无关——叫做静态——的情况。所有电荷都永远固定在空间里，即使它们确实在运动，也只是作为电路中的恒定电流而运动（使得 $\rho$ 和 $\boldsymbol j$ 都不随时间而变）。在这种情况下麦克斯韦方程组中所有场对时间的微商的项都等于零”（摘自《费恩曼物理学讲义第2卷》参考资料① ）。

库伦定律; 叠加原理

两个静止不动的电荷间有一个与这两个电荷之积成正比，而与它们之间距离成反比的力，这个力沿着从一点和至另一电荷的直线。

库仑定律：

F_{1} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} e_{12} = - F_{2}

$\boldsymbol F_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\boldsymbol e_{12} = -\boldsymbol F_2$

$\boldsymbol F_1$ 是作用于电荷 $q_1$ 上的力； $\boldsymbol e_{12}$ 是从 $q_2$ 至 $q_1$ 的方向上的单位矢量；而 $r_{12}$ 则是 $q_1$ 与 $q_2$ 间的距离。 $F_2$ 与 $F_1$ 大小相等而方向相反。基于历史原因，比例常数写成 $1/4\pi\epsilon_0$ ，它被定义为精确地等于 $10^{-7}$ 乘光速平方。光速近似等于 $3\times 10^8 m\cdot s^{-1}$ ，因此这个常数近似地为 $9\times 10^9 Nm^2C^{-2}$ 。

如果有若干个电荷 $q_1，q_2，q_3, \cdots$ ，位矢分别为 $\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2,\boldsymbol r_3,\cdots$ ，它们距检验电荷 $Q$ 的距离分别是 $\tau_1, \tau_2, \tau_3,\cdots$ ，从它们到 $Q$ 的单位向量分别是 $\hat{\boldsymbol \tau_1}, \hat{\boldsymbol \tau_2}, \hat{\boldsymbol \tau_3},\cdots$ ，则 $Q$ 受到的力为

\begin{aligned} F & = F_{1} + F_{2} + F_{3} + \dots \\ = \frac{Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q_{1}}{τ_{1}^{2}} \hat{τ_{1}} + \frac{q_{2}}{τ_{2}^{2}} \hat{τ_{2}} + \frac{q_{3}}{τ_{3}^{2}} \hat{τ_{3}} + \dots) \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol F&=\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2+\boldsymbol F_3+\cdots \\&=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\left(\frac{q_1}{\tau_1^2}\hat{\boldsymbol \tau_1}+\frac{q_2}{\tau_2^2}\hat{\boldsymbol \tau_2}+\frac{q_3}{\tau_3^2}\hat{\boldsymbol \tau_3}+\cdots\right) \end{aligned}$

或者 $\boldsymbol F=Q\boldsymbol E$ 。从而应用库伦定律引入了电场概念：

E (r) \equiv \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_{i}}{τ_{i}^{2}} \hat{τ_{i}}

$\boldsymbol E(\boldsymbol r)\equiv\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{\tau_i^2}\hat{\boldsymbol \tau_i}$

式中 $\boldsymbol r$ 是检验电荷 $Q$ 的位矢，电场是关于这个坐标的函数，因为每一个 $\boldsymbol \tau_i=\boldsymbol r-\boldsymbol r_i$ 都依赖于 $\boldsymbol r$ 。

写成积分形式：

E (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} \frac{ρ (r^{'})}{τ^{2}} \hat{τ} d V^{'}

$\boldsymbol E(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} \frac{\rho(\boldsymbol r')}{\tau^2}\hat{\boldsymbol\tau} \mathrm{d}V’$

式中 $\rho(\boldsymbol r')$ 为单位体积中的电荷量（称为电荷体密度）。

电力线; 电势; 电场的旋度; Stokes 定理

电力线最早由法拉第引入和使用，是人为地画出的形象描述电场分布的辅助工具。电力线从正电荷出发，向所有方向对称发出足够多条，并终止在负电荷上；它们不能在半空中中断，但可以伸长到无限远处；空间中每一点的电场方向正是该处电力线的方向。可以想象，电力线的疏密度反应了电场强度的大小（成正比关系），也因此，某个无限小面元的电场的通量 $\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n\mathrm{d} S$ （后面会提到）正比于通过它的电力线数。

电力线能帮助我们更直观地理解散度、旋度的物理意义，更直观地体会高斯定理、Stokes 定理。麦克斯韦的论文《论法拉第力线》正是基于法拉第的这种思想而诞生的。

我们先回到电场公式。注意到：

\frac{\hat{r}}{r^{2}} = - \nabla (\frac{1}{r} + C)

$\frac{\hat{\boldsymbol r}}{r^2}=-\nabla\left(\frac{1}{r}+C\right)$

所以电场公式可以写成：

\begin{aligned} E (r) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} - \nabla (\frac{1}{τ} + C) ρ (r^{'}) d V^{'} \\ = - \nabla (C + \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} \frac{ρ (r^{'})}{τ} d V^{'}) \\ = - \nabla ϕ (r) \\ E & = - \nabla ϕ \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol E(\boldsymbol r)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} -\nabla\left(\frac{1}{\tau}+C\right) \rho(\boldsymbol r') \mathrm{d}V’ \\&=-\nabla\left(C+ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} \frac{\rho(\boldsymbol r')}{\tau} \mathrm{d}V’ \right) \\&=-\nabla \phi(\boldsymbol r) \\\boldsymbol E&=-\nabla \phi \end{aligned}$

这里向量场 $\boldsymbol E$ 是标量场 $\phi$ 的负梯度。我们称 $\phi$ 为电势。注意势函数 $\phi(\boldsymbol r)$ 是不确定的，增加一个常数（ $C$ ）后负梯度不变。不妨令 $C$ 等于 $0$ ，即电势在无穷远处为 $0$ 。由积分形式我们能知道，电势 $\phi$ 也满足叠加原理。

ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} \frac{ρ (r^{'})}{τ} d V^{'}

$\phi(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} \frac{\rho(\boldsymbol r')}{\tau} \mathrm{d}V’$

继续讨论电场与电势的关系。根据有关梯度的基本定理可以得到：

ϕ (b) - ϕ (a) = \int_{a}^{b} (\nabla ϕ) \cdot d l = - \int_{a}^{b} E \cdot d l

$\phi(b)-\phi(a)=\int_a^b (\nabla\phi)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=-\int_a^b \boldsymbol E\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l$

这个等式对任何点 $a$ 和 $b$ 都是成立的。因此电场的线积分是不依赖于路径的，只依赖于起点和终点。所以静电场是保守力场。 $\phi(\boldsymbol r)$ 还可以写成如下形式：

ϕ (r) = - \int_{O}^{r} E \cdot d l

$\phi(\boldsymbol r)=-\int_O^{\boldsymbol r}\boldsymbol E\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l$

将起点 $a$ 和终点 $b$ 设为同一个点，可知电场沿一个回路的线积分为 $0$ 。

\int_{C} (\nabla ϕ) \cdot d l = - \int_{C} E \cdot d l = 0

$\int_\mathcal{C}(\nabla \phi)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l =-\int_\mathcal{C} \boldsymbol E\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=0$

即静电场是无旋的： $\nabla \times \boldsymbol E=0$ 。

这也可以由矢量计算公式推得： $\nabla\times \boldsymbol E=\nabla \times(-\nabla \cdot \phi)=0$ 。

斯托克斯定理（Stokes' theorem）则更直观地体现了电场的线积分与旋度的面积分的关系：

\int_{C} E \cdot d l = \int_{S} (\nabla \times E) \cdot n d S

$\int_C\boldsymbol E\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=\int_S (\nabla\times \boldsymbol E) \cdot \boldsymbol n\mathrm{d}S$

若等号左边恒为 $0$ ，那么显然 $\nabla \times \boldsymbol E=0$ 。

我们从电力线的角度看这个结果。电场的某个位置的旋度，形象地说，就是这个点附近电力线旋绕它的程度。而我们知道电力线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远），不会互相交叉，所以电力线是无旋的。这样的说明虽然漏洞百出，但或许正提示了我们旋度为什么叫 “旋度”，甚至引领我们去提出描述矢量场的另一个重要概念：散度。

电场的散度; Gauss 定理

接下来我们来探究 $\boldsymbol E$ 的散度。

\begin{aligned} \nabla \cdot E (r) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} \nabla \cdot (\frac{\hat{τ}}{τ^{2}}) ρ (r^{'}) d V^{'} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} 4 π δ^{3} (τ) ρ (r^{'}) d V^{'} \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} ρ (r) \end{aligned}

$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol E(\boldsymbol r)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} \nabla \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol\tau}}{\tau^2}\right)\rho(\boldsymbol r') \mathrm{d}V’ \\&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} 4\pi\delta^3(\boldsymbol \tau) \rho(\boldsymbol r') \mathrm{d}V’ \\&= \frac{1}{\epsilon_0}\rho(\boldsymbol r) \end{aligned}$

这正是高斯定理（Gauss's law）的微分形式。对体积积分并利用散度定理，可以得到积分形式：

\int_{V} (\nabla \cdot E) d V = \int_{S} E \cdot n d s = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ d V = \frac{1}{ϵ_{0}} Q_{内}

$\int_\mathcal{V} (\nabla\cdot \boldsymbol E)dV=\int_\mathcal{S} \boldsymbol E\cdot \boldsymbol n\mathrm{d}s=\frac{1}{\epsilon_0}\int_\mathcal{V} \rho\mathrm{d}V=\frac{1}{\epsilon_0}Q_内$

从物理意义上看，这个式子不难理解。 $\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n\mathrm{d}s$ 就是从内向外穿过 $\boldsymbol s$ 面的 $\boldsymbol E$ 的通量，其中 $\boldsymbol n$ 是垂直于 $\mathrm{d}s$ 向外的单位矢量。闭曲面外部的电荷 $q_外$ ，既贡献了从外向内的 $\boldsymbol E$ 流，又贡献了从内向外的 $\boldsymbol E$ 流。做一个以 $q_外$ 为顶点，穿过这个闭曲面的无限长的小锥体，因为 $\boldsymbol E$ 的大小与 $r^2$ 成反比而表面积正比于 $r^2$ ，所以锥形的任何截面的通量与 $r$ 无关。所以 $q_外$ 贡献的向内的 $\boldsymbol E$ 通量和向外的 $\boldsymbol E$ 通量刚好抵消，即 $\boldsymbol E$ 的通量在闭曲面上的积分，与外部的电荷无关。

对于 $q_内$ 的贡献也可以通过类似方法分析。以点电荷 $q_内$ 所在位置为顶点，将空间划分成无数个锥体。设某一小锥体的立体角为 $\mathrm{d}\Omega$ ，那么被闭曲面所截的截面的面积为 $r^2\mathrm{d}\Omega/\cos\theta$ （设 $\theta$ 为这一小截面的法向量与的夹角），因此的通量为 $\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n\mathrm{d}s=(1/4\pi \epsilon_0 \cdot q_内/r^2) \cdot (r^2 d\Omega/\cos\theta)\cdot \cos\theta =q_内 \mathrm{d} \Omega/4\pi \epsilon_0$ 。积分后可得：

\begin{aligned} \int_{S} E \cdot n d s & = \int_{V} d q \int d Ω / 4 π ϵ_{0} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\int d Ω) \cdot \int_{V} ρ d V \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ d V \end{aligned}

$\begin{aligned} \int_\mathcal{S} \boldsymbol E\cdot \boldsymbol n\mathrm{d}s&=\int_\mathcal{V} \mathrm{d}q\int \mathrm{d} \Omega/4\pi \epsilon_0 \\&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\int \mathrm{d}\Omega\right) \cdot \int_\mathcal{V} \rho \mathrm{d}V \\&=\frac{1}{\epsilon_0}\int_\mathcal{V} \rho\mathrm{d}V \end{aligned}$

如果从电力线的角度看以上证明，则变得非常直观。对于一个闭曲面，若从外面的电荷引出电力线穿过它，那么进去之后必定会出来。而电场的通量正比于从内向外穿过的电力线数（从外向内的计数 $-1$ 次），所以闭曲面的 $\boldsymbol E$ 的通量只跟内部的电荷有关，正比于内部的总电荷量。电场中某个位置的散度，也可以理解为该处电力线向外发散的程度，这样高斯定理就变得直观了。

泊松方程和拉普拉斯方程; 唯一性定理

我们拥有了静电学方程组：

\begin{aligned} \nabla \cdot E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ \nabla \times E & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol E&=\frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \times \boldsymbol E&=0 \end{aligned}$

注意第二个方程与麦克斯韦方程组的第二个方程相差了一项 $-\partial\boldsymbol B/\partial t$ ，这是因为在静电学中这一项为 $0$ 。

引入电势函数 $\phi$ ，并设 $\phi$ 在无穷远处为 $0$ ，有等式 $\boldsymbol E=-\nabla \phi$ ，而且若这个等式成立，则静电学方程组的第二个方程一定成立（由矢量基本运算可知）。那么我们可以将 $\boldsymbol E=-\nabla \phi$ 代入第一个方程。原来关于 $\boldsymbol E$ 的两个方程变为了一个关于 $\phi$ 的方程：

\nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\nabla ^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$

我们称它为 “泊松方程”。

若在所考虑区域内无电荷（例如在理想的金属导体内部），等号右边为 $0$ ，则泊松方程约化为如下拉普拉斯方程：

\nabla^{2} ϕ = 0

$\nabla^2 \phi=0$

可以证明，当区域 $\mathcal{V}$ 的边界条件确定时（或者区域分布到无限远处时，无限远处的条件确定），泊松方程的解唯一。这就是静电场的唯一性定理（详细表述和证明略）。于是，在已知电荷的分布时，静电学方程组决定了整个空间的电场。值得一提的是，解决某些物理问题的一种技巧 “镜像法”，正是依赖于静电场的唯一性定理。

当然还有更强的定理： “亥姆霍兹定理” ，保证了在适当的边界条件（或无穷远处的条件）下，场可以由它的散度和旋度唯一确定，于是麦克斯韦方程组就能决定整个空间的电场和磁场。这会在之后提到。

静磁学

洛伦兹力; 电荷守恒; 作用于电流上的磁力

作用于一电荷上得力不仅取决于它得位置，而且还取决于它运动的速度。首先，电力提供了与电荷运动无关的一部分力，我们用电场 $\boldsymbol E$ 描述它；其次，另一部分力，称为磁力，那是有赖于电荷的速度的。而且磁力的方向总是垂直于速度矢量，并在任一特定点上，磁力与空间中某一固定方向成直角；而且力的大小是与垂直于这一规定方向的速度分量成正比的。于是我们定义一个磁场矢量 $\boldsymbol B$ 来描述这一切行为。这个矢量不仅在空间中规定出唯一方向，还规定力与速度成正比的那个比例常数。于是，作用于电荷上的总电磁力就可以写成：

F = q (E + v \times B)

$\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+v\times \boldsymbol B)$

这称为洛伦兹力。

为了理解磁力对载流导线的作用，我们需要给所谓电流密度下个定义。电流是电子或其他电荷的净漂移或净流动所形成的运动。我们可以用矢量 $\boldsymbol j$ 表示电流密度，这矢量给出单位时间通过垂直于流动方向的单位面积元的电荷量。如果在材料中某处取一小面积 $\Delta S$ ，则单位时间流经该面积的电荷量为：

j \cdot n Δ S

$\boldsymbol j\cdot \boldsymbol n \Delta S$

式中 $\boldsymbol n$ 是垂直于 $\Delta S$ 的单位矢量。

假设有一个电荷密度为 $\rho$ 的电荷分布在以速度 $\boldsymbol v$ 移动，简单分析可知，单位时间流经 $\Delta S$ 的电荷为 $\rho \boldsymbol v \cdot \boldsymbol n \Delta S$ 。所以， $\boldsymbol j=\rho \boldsymbol v$ 。再设该电荷分布是由单独的电荷组成的，其中每个电荷具有电量 $q$ ，并以平均速度 $\boldsymbol v$ 运动，则电流密度为 $\boldsymbol j=Nq\boldsymbol v$ ，其中 $N$ 为单位体积的电荷数目。

物理学的一个基本定律为：电荷是不灭的；它既不消失，也不被创造，只能从一处移至另一处。我们说电荷是守恒的。如果由一个净电流从一个闭曲面流出，则其内部的电荷就应相应减少。因此电荷守恒律可以写为：

\int_{S} j \cdot n d S = - \frac{d Q_{内}}{d t} = - \frac{d}{d t} \int_{V} ρ d V = - \int_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d V

$\int_\mathcal{S} \boldsymbol j\cdot \boldsymbol n \mathrm{d}S =-\frac{\mathrm{d}Q_内}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathcal{V} \rho\mathrm{d}V=-\int_\mathcal{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V$

利用前面提到的高斯定理改变积分形式：

\int_{S} j \cdot n d S = \int_{V} (\nabla \cdot j) d V = - \int_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d V

$\int_\mathcal{S} \boldsymbol j\cdot \boldsymbol n \mathrm{d}S =\int_\mathcal{V} (\nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol j)\mathrm{d}V=-\int_\mathcal{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V$

因而电荷守恒律也可以写成：

\nabla \cdot j = - \frac{\partial ρ}{\partial t}

$\nabla \cdot \boldsymbol j=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

我们再来分析作用于电流上的磁力。由于是静磁学，所以不考虑电荷独自在空间中运动的情况，而是考虑电流沿着导线流动，这样由电荷守恒律可知 $\rho$ 和 $\boldsymbol j$ 不随时间变化。

分析一小截导线，体积为 $\Delta V$ ，单位体积电荷数目为 $N$ ，每个电荷具有电量 $q$ ，且以速度 $\boldsymbol v$ 沿导线运动。那么每个电荷将感受到一个横向力 $\boldsymbol F = q\boldsymbol v \times \boldsymbol B$ 。那么这一小截导线受到的总磁力为：

Δ F = (N Δ V) q v \times B

$\Delta \boldsymbol F = (N\Delta V)q\boldsymbol v\times \boldsymbol B$

由前面推得的 $\boldsymbol j=Nq\boldsymbol v$ 可知， $\Delta F=\boldsymbol j\times \boldsymbol B\Delta V$ ，所以作用于单位体积的力为 $\boldsymbol j\times \boldsymbol B$ 。

假如取一段截面为 $A$ 长度为 $\Delta L$ 的一段柱体，流经导线的电流是均匀的。那么 $\Delta F=\boldsymbol j\times \boldsymbol B A\Delta L=\boldsymbol I\times \boldsymbol B\Delta L$ 。这里的 $\boldsymbol I=\boldsymbol j A$ 是电流矢量，表示单位时间通过截面的电荷数。因此作用于单位长度导线上的力为 $\boldsymbol I\times \boldsymbol B$ 。

磁力线; 磁场的散度和旋度; 安培定律

这一小节将不同于前面静电场部分的由库伦定律推导散度和旋度，因为毕奥-萨伐尔定律形式较为复杂，由它引入会造成理解上的困难。因此我们直接从麦克斯韦方程组中分离出静磁学方程组，从它入手讨论磁场有关的问题。

静磁学方程组如下：

\nabla \cdot B = 0 c^{2} \nabla \times B = \frac{j}{ϵ_{0}}

$\nabla \cdot \boldsymbol B=0\\ c^2\nabla \times \boldsymbol B=\frac{\boldsymbol j}{\epsilon_0}$

类比电力线的定义，我们也可以定义 “磁力线”。电力线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远），我们称电荷为“电单极子”。那么有没有类似的“磁单极子”呢？条形磁铁的磁力线从一端出发到另一端后又穿过磁铁内部回到了起点；通有电流的导线周围磁场的磁力线绕着它一圈也回到起点……物理学家至今还未发现磁单极子存在的确凿证据。所以我们认为磁力线无源，无汇。也即磁场的散度为 $0$ 。这一结果，不仅对静磁场正确，甚至对于动态场也始终正确。

\nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot \boldsymbol B=0$

那么磁场的旋度又如何呢？奥斯特的电流磁效应实验告诉我们，无论哪里有电流，那里就有构成回路的磁力线环绕着该电流。静磁学方程组的第二个方程，说明了该处磁场的旋度正比于电流密度。

用斯托克斯定理将这一等式，转换为积分形式：

\int_{C} B \cdot d l = \int_{S} (\nabla \times B) \cdot n d S = \frac{1}{c^{2} ϵ_{0}} \int_{S} j \cdot n d S

$\int_\mathcal{C}\boldsymbol B\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=\int_\mathcal{S} (\nabla \times \boldsymbol B)\cdot \boldsymbol n \mathrm{d}S=\frac{1}{c^2\epsilon_0}\int_\mathcal{S} \boldsymbol j\cdot \boldsymbol n \mathrm{d}S$

电流密度的通量的面积分正是通过该面的总电流，所以通过 $\mathcal{S}$ 面的电流与该面的形状无关，仅仅要求该面由 $\mathcal{C}$ 曲线所包围，因而人们往往说成是“穿过 $\mathcal{C}$ 回路的电流"。这样，我们得到了一个普遍定律——安培定律：

\int_{C} B \cdot d l = \frac{I_{穿 过 C}}{ϵ_{0} c^{2}}

$\int_\mathcal{C}\boldsymbol B\cdot \mathrm{d}\boldsymbol l=\frac{\boldsymbol I_{穿过\mathcal{C}}}{\epsilon_0c^2}$

由安培定律，和通电长直导线的对称性，容易求出距通电长直导线距离 $r$ 处的磁场强度：

B = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \frac{2 I \times e_{r}}{r}

$\boldsymbol B=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\frac{2\boldsymbol I\times \boldsymbol e_r}{r}$

那么铁磁性是哪里来的呢？那是因为微观原子的组成部分有电子，电子的自旋产生一个固有磁矩，而在铁中，磁矩得到了整齐排列。

而至于为什么会这样，“不可能从经典物理学的观点用任何普通的方法来理解材料的磁效应。这样的磁效应完全是一种量子力学现象。”（摘自《费恩曼物理学讲义第2卷》参考资料①）

磁矢势; 毕奥-萨伐尔定律

本节我们继续讨论与恒定电流有关的磁场——静磁学课题。磁场与电流由“静磁学方程组”相联系。利用这个方程组，我们可以通过利用空间中的对称性，求解通电直导线周围的磁场、通电螺线管的磁场等。现在我们希望以一种普遍的方式，即不需要任何特殊对称性或直观猜测，就能在数学上解出这些方程。

在静电学中，我们知道，由于 $\boldsymbol E$ 的旋度始终是 $0$ ，有可能把 $\boldsymbol E$ 表达成一个标量场 $\phi$ 的梯度，并且 $\phi$ 可以由空间的电荷分布简单地算出。现在我们要证明：如果已知所有运动电荷的电流密度 $\boldsymbol j$ ，则会有一种求得磁场 $\boldsymbol B$ 的相应方法。

$\boldsymbol B$ 的旋度不常为零，所以不能把它表达成一梯度。然而 $\boldsymbol B$ 的散度却永远为零，这意味着我们总能把 $\boldsymbol B$ 表达成另一个矢量场的旋度（旋度的散度总为零）：

B = \nabla \times A

$\boldsymbol B=\nabla\times \boldsymbol A$

我们称 $\boldsymbol A$ 这个场为矢势。

静电场中是不唯一的。而从这个方程可以看出，也是不唯一的， $\boldsymbol A'=\boldsymbol A+\nabla \psi$ 仍是满足此方程的矢势。

注意到 $\nabla\cdot \boldsymbol A'=\nabla\cdot \boldsymbol A+\nabla^2\psi$ 。为获得最大的数学方便，我们规定 $\nabla \cdot \boldsymbol A=0$ 。于是目前 $\boldsymbol A$ 的完整定义为。

\nabla \times A = B; \nabla \cdot A = 0

$\nabla\times \boldsymbol A=\boldsymbol B;\ \nabla\cdot \boldsymbol A=0$

让我们将矢势带入磁场的旋度方程：

\begin{aligned} \frac{j}{ϵ_{0}} & = c^{2} \nabla \times B = c^{2} \nabla \times (\nabla \times A) \\ = c^{2} (\nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A) \\ = - c^{2} \nabla^{2} A \\ \nabla^{2} A & = - \frac{j}{ϵ_{0} c^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\boldsymbol j}{\epsilon_0}&=c^2\nabla\times \boldsymbol B=c^2\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol A) \\&=c^2(\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol A)-\nabla^2\boldsymbol A) \\&=-c^2\nabla^2\boldsymbol A \\ \nabla^2\boldsymbol A&=-\frac{\boldsymbol j}{\epsilon_0c^2} \end{aligned}$

注意到这个方程可以分解成 $x,y,z$ 三个分量的方程，并且这三个方程在数学上与静电学中 $\nabla^2\phi=-\rho/\epsilon_0$ 全同。我们已经知道静电学方程组的一个通解为：

ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{全 部 空 间} \frac{ρ (r^{'})}{τ} d V^{'}

$\phi(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{全部空间} \frac{\rho(\boldsymbol r')}{\tau} \mathrm{d}V’$

所以容易写出静磁学方程组的一个通解：

A (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{全 部 空 间} \frac{j (r^{'})}{τ} d V^{'}

$\boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_{全部空间} \frac{\boldsymbol j(\boldsymbol r')}{\tau}\mathrm{d}V'$

如果对 $\boldsymbol A(\boldsymbol r)$ 求旋度就可以求出磁场。注意到积分式中与 $\boldsymbol r$ 有关的变量只有 $\tau$ ，经过简单推导，

\begin{aligned} B (r) & = \nabla \times (\frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{全 部 空 间} \frac{j (r^{'})}{τ} d V^{'}) \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{全 部 空 间} \frac{j (r^{'}) \times \hat{τ}}{τ^{2}} d V^{'} \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol B(\boldsymbol r) &=\nabla\times \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_{全部空间} \frac{\boldsymbol j(\boldsymbol r')}{\tau}\mathrm{d}V'\right) \\&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_{全部空间} \frac{\boldsymbol j(\boldsymbol r')\times \boldsymbol{\hat\tau}}{\tau^2}\mathrm{d}V' \end{aligned}$

若空间中只存在稳恒线电流（注意在静磁学中必定稳恒），那么方程还可以写为：

B (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int_{} \frac{I (r^{'}) \times \hat{τ}}{τ^{2}} d l

$\boldsymbol B(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_{}\frac{\boldsymbol I(\boldsymbol r')\times \boldsymbol{\hat\tau}}{\tau^2}\mathrm{d}l$

这就是毕奥-萨伐尔定律。

一个佯谬; 电场和磁场的相对性

（本节几乎全部摘自《费恩曼物理学讲义第2卷》参考资料①）

在上一节中提到的有关 $\boldsymbol B$ 的定义清楚地告诉我们，这个矢量是什么取决于我们选取哪一个参考系来规定电荷的速度。关于哪一个才是规定磁场的合适的参考系，我们还未说过什么。

事实证明，任何一个惯性系都可以。我们也将看到，磁和电并不是互相独立的东西，它们必须永远作为一个完整的电磁场结合在一起。虽然在静止情况下，麦克斯韦方程组会分成性质不同的两对，其中一对是关于电方面，另一对是关于磁方面，在这两种场之间并没有明显联系，然而在自然界内部它们之间却又一个起因于相对性原理的十分密切的关系。

假如我们想一想，如下图所示，一个负电荷以速度 $v_0$ 平行于一根载流导线运动，将会发生的情况。我们试图理解在如下两种参考系中正在进行的事态：一个系统相对于导线固定，如图 $(a)$ 所示；而另一个系统则相对于粒子固定，如图 $(b)$ 所示。我们将第一个参考系叫做 $S$ ，而第二个参考系叫做 $S'$ 。

在 $S$ 系中，显然又一磁力作用于该粒子上。这力指向导线，所以若该电荷做自由运动，则应该看到它会向导线方面靠拢。但在 $S'$ 系上，就不会有任何磁力作用于该粒子，因为它的速度为零。因此它是否将停留在那里呢？在这两个参考系上，我们会看到不同的事态发生吗？相对性原理理应说明，在 $S'$ 系我们也将看到粒子会向导线方面靠拢。为什么会发生这样的事情呢？

我们先对载流导线中的原子进行描述。在诸如铜一类的通常导体中，电流来自某些负电子——称为传导电子——的运动，而正的核电荷以及其余电子则都在材料里保持不动。我们令 $A$ 为导线的横截面积，传导电子的密度为 $\rho_-$ ，在 $S$ 系中它们的速度为 $v$ 。在 $S$ 系中那些静止不动的电荷密度为 $\rho_+$ ，这必须等于 $\rho_-$ 的负值，因为我们正在考虑的是一根不带电的导线。这样在导线之外不会有电场，因而作用于该运动粒子上的力正好是

F = q v_{0} \times B

$\boldsymbol F=q \boldsymbol v_0\times \boldsymbol B$

由前面提过的通电长直导线产生磁场公式，可以知道作用于该粒子的力指向导线，且具有量值：

\begin{aligned} F & = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \cdot \frac{2 I q v_{0}}{r} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \cdot \frac{2 ρ_{-} A v q v_{0}}{r} \end{aligned}

$\begin{aligned} F&=\frac{1}{4\pi \epsilon_0c^2}\cdot \frac{2Iqv_0}{r}\\ &=\frac{1}{4\pi \epsilon_0c^2}\cdot \frac{2\rho_- Avqv_0}{r} \end{aligned}$

我们先考察特殊情况，即 $v=v_0$ ，那么

F = \frac{q}{2 π ϵ_{0}} \frac{ρ_{-} A}{r} \frac{v^{2}}{c^{2}}

$F=\frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{\rho_-A}{r}\frac{v^2}{c^2}$

而在 $S'$ 系中，传导电子静止，虽然跟着导线跑的正电荷将在粒子处造成某一磁场 $B'$ ，但由于粒子是静止的，将不会有磁力作用于其上。如果有任何力作用于该粒子上，则它必然来自电场，必定是那根正在运动着的导线产生了电场。但它所以能够这样只有它表现出带了电——一定是一根载流的中性导线运动时才会表现出带了电。

我们必须对此仔细检查。应当尝试从 $S$ 系中所已知的导线里的电荷密度算出 $S'$ 系中导线内的电荷密度，人们起初也许认为它们相同。可是我们知道，长度在 $S$ 和 $S'$ 之间是改变的（狭义相对论尺缩效应），从而体积发生变化。由于电荷密度有赖于电荷所占的体积，因而密度也将发生变化。因此我们接近真相了！

（注意，虽然一个粒子的表观质量在两个参考系中是不同的，但它们的电荷总是一样的。否则我们便不会始终都观测到总电荷守恒了。）

我们取长度为 $L_0$ 的一段导线，其中静止电荷具有密度 $\rho_0$ ，则它将含有总电荷 $Q=\rho_0L_0A_0$ 。若在一个以速度 $v$ 运动着的不同参考系中观测，则这些电荷均会在一段较短的长度

L = L_{0} \sqrt{1 - v^{2} / c^{1}}

$L=L_0\sqrt{1-v^2/c^1}$

的材料内被找到。（面积 $A_0$ 始终不变）

在这个运动着的参考系中，令 $\rho$ 为电荷密度，则总电荷 $Q=\rho LA_0=\rho_0L_0A_0$ ，所以

ρ = \frac{ρ_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{1}}}

$\rho=\frac{\rho_0}{\sqrt{1-v^2/c^1}}$

我们将这一普遍结果应用于导线中的正电荷，这些电荷在 $S$ 参考系中是静止的，而在 $S'$ 系中以速率 $v$ 运动，因而正电荷密度就会变成：

ρ_{+}^{'} = \frac{ρ_{+}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{1}}}

$\rho_+'=\frac{\rho_+}{\sqrt{1-v^2/c^1}}$

负电荷在 $S'$ 系中静止（令 $S'$ 系中负电荷具有密度 $\rho_-'$ ，而在 $S$ 系中速率为 $v$ ，所以：

ρ_{-} = \frac{ρ_{-}^{'}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

$\rho_-=\frac{\rho_-'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

所以在 $S'$ 系中，净电荷密度为：

\begin{aligned} ρ^{'} = ρ_{+}^{'} + ρ_{-}^{'} & = \frac{ρ_{+}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} + ρ_{-} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}} \\ = ρ_{+} \frac{v^{2} / c^{2}}{1 - v^{2} / c^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \rho'=\rho_+'+\rho_-'&=\frac{\rho_+}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\rho_-\sqrt{1-v^2/c^2} \\&=\rho_+\frac{v^2/c^2}{1-v^2/c^2} \end{aligned}$

一个均匀带电柱体周围的电场，可以用高斯定理及对称性分析轻易求出，这里不再具体分析。

由以上结果可以求出，在 $S'$ 参考系中，力的大小为：

F^{'} = \frac{q}{2 π ϵ_{0}} \frac{ρ_{+} A}{r} \frac{v^{2} / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = \frac{F}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

$F'=\frac{q}{2\pi\epsilon_0}\frac{\rho_+A}{r}\frac{v^2/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{F}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

虽然 $F'$ 和 $F$ 还有细微的差别，但当我们考虑狭义相对论的钟慢效应以及两个参考系中粒子的横向动量（垂直于导线方向）相同，我们就应当把从 $S$ 过渡到 $S'$ 时力的变换也计算在内。这样一来，这个结果是正确的！

天天都在赶ddl的eden 鸽了

麦克斯韦方程组（未完待续）

法拉第定律; 麦克斯韦修改安培定理

麦克斯韦方程组

行移场; 光速; 电磁波

势与场

电偶极子; 磁偶极子

电场,电势,磁场,磁矢势的对比

规范变换; 库仑规范与洛伦兹规范

未完待续

posted @ 2020-10-01 20:21 I_m_Eden 阅读(1018) 评论(1) 编辑收藏举报

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Eden

此人彻底摆烂了