求知随笔

37、证明：有限除环必为域。（Wedderburn [1905]）

关键词：类方程，分圆多项式

来源：GTM242 Theorem 6.6

36、用 smith 标准型证明有限 abel 群结构定理。

关键词：PID上有限生成模结构定理

35、 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，若 $AB=BA=0$ ，并且 $rank(A^2)=rank(A)$ ，证明：

$rank(A+B)=rank(A)+rank(B)$

34、证明：非阿贝尔单群的最小阶数为 $60$ ，且 $60$ 阶群必同构于 $A_5$ 。

关键词：sylow定理

33、证明：若群 $G$ 是阶为 $p^r\cdot n$ 的有限群，其中 $p$ 为素数，那么一定存在阶为 $p^r$ 的子群。且任意两个 sylow p-群共轭。

关键词：sylow定理；群作用或归纳法

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30928143

32、证明：在有心力问题中，对于所有被束缚的质点来讲，只有遵循平方反比律和胡克定律的两种有心力才能给出闭合轨道。

关键词：伯特兰定理（Bertrand's theorem）；引入高阶扰动

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem

31、推导卢瑟福散射截面公式：

$\sigma(\Theta) = \frac{1}{4} (\frac{ZZ'e^2}{2E})^2csc^4(\frac{\Theta}{2})$

来源：《经典力学 Goldstein》3-10 有心力场中的散射

30、对于素数 $p$ 和正整数 $s \geq 2$ ，考虑图 $ProjNormGraph_{p,s}=G(V,E)$ ，其中 $V=\mathbb{F}_{p^{s-1}} \times \mathbb{F}_{p}^{\times}$ 。此时 $n = (p-1)p^{s-1}$ 。对于点 $(X,x)$ 和 $(Y,y)$ ，连接这两点间有边当且仅当

$N(X+Y)=xy$

其中映射 $N:\mathbb{F}_{p^{s-1}} \rightarrow \mathbb{F}_{p}^{\times}$ 按如下法则定义：

$N(x)=x^{\frac{p^{s-1}-1}{p-1}}$

证明：

$|E|=(\frac{1}{2}-o(1))n^{2-1/s}$ ，且图 $ProjNormGraph_{p,s}$ 中不包含 $K_{s,(s-1)!+1}$ 作为子图。

29、证明 Ramsey 数的几个估计：

$R(k,k) > \frac{\sqrt{2}}{e}(1+o(1))k 2^{\frac{k}{2}} \\ R(3,k) \leq c1 \cdot \frac{k^2}{\ln(k)}$

其中 $R(a,b)$ 表示最小的 $n$ ，使得对一张 $n$ 个点的完全图的边任意进行黑白染色，总是存在一个 $a$ 个点的黑色完全图或一个 $b$ 个点的白色完全图。

关键词：Lovasz local lemma

28、证明：迹为 $0$ 的 $n\times n$ 实矩阵 $S$ ，一定可以表示为 $AB-BA$ ，其中 $A,\ B$ 为 $n\times n$ 实矩阵。

来源：https://arxiv.org/pdf/1211.6872.pdf

27、证明尺规作图不能三等分角。

关键词：galois理论

26、令 $a_1, \cdots, a_n$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中长度至少为 $1$ 的向量， $R_1, \cdots, R_k$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的 $k$ 个开区域，对于位于同一个区域 $R_i$ 中的任何 $\boldsymbol x, \boldsymbol y$ ，都有 $|\boldsymbol x-\boldsymbol y| < 2$ 。那么在这些区域的并 $\bigcap_i R_i$ 中的线性组合 $\sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \boldsymbol a_i, \epsilon_i \in \{1,-1\}$ 的个数，至多是 $k$ 个最大的二项式系数 $n \choose j$ 的和。

特别地，当 $k=1$ ，就得到界 ${n \choose \lfloor n/2 \rfloor }$ 。

关键词：归纳

来源：《数学天书中的证明(第五版)》24章

25、资源分享：《一个数学家的辩白》（哈代）

链接：https://pan.baidu.com/s/1aP6OkM-2uUDhV8XgHxMW7g 提取码：ump2

24、一个长的导电圆柱沿轴的方向劈成两半并保持其电势为 $V_0$ 与 $0$ 。整个系统中静电荷为零。计算空间电势的分布。

关键词：

方法一：保角变换

方法二：解拉普拉斯方程

23、求扁旋转椭球面形导体的电容。已知旋转椭球面方程为

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2+z^2}{a^2}=1$

式中，常数 $a,b$ 满足 $a>b，a^2=b^2+f^2$

关键词：

方法一：椭球坐标系解拉普拉斯方程

方法二：类比，极限思想，见《物理学大题典·电磁学与电动力学》1.53

22、设平面电磁波垂直入射到一金属圆柱面上。若电磁波的频率一定，其电矢量与柱轴平行，求被柱面散射的电磁波。

来源：《数学物理方法》(吴崇试) 17.6

关键词：Bessel 方程, Hankel 函数。

21、无限大正方形网格，每条边电阻为r，求(0,0)到(n,m)的等效电阻大小。

关键词：二维傅立叶变换

20、codeforces gym102268 E https://codeforces.com/gym/102268/problem/E

关键词：

方法一：解稀疏线性方程组 from 钟子谦. 两类递推数列的性质和应用, IOI2019 中国国家候选队论文集

方法二：稀疏图上的随机游走 from 王修涵. 浅谈图模型上的随机游走问题. IOI2019 中国国家候选队论文集,

19、 设 $n$ 为偶数，求 $\zeta(n) = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i^n}$

关键词：

方法一：傅里叶分析。方法二：留数法。

多种解法整理：https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/13370162.html

18、1. 在长为 $L$ 、高为 $H$ 的矩形区域内，求解拉普拉斯方程：

$\begin{aligned} PDE&:\ \nabla^2 u \ = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \ = 0 \\BC1&:\ u(0,y)\ =g_1(y) \\BC2&:\ u(L,y)\ =g_2(y) \\BC3&:\ u(x,0)\ =f_1(x) \\BC3&:\ u(x,H)\ =f_2(x) \end{aligned}$

2. 在半径为 $a$ 的圆域内，求解拉普拉斯方程：

$\begin{aligned} PDE&:\ \nabla^2 u \ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} =0 \\BC&:\ u(a,\theta)\ =f(\theta) \end{aligned}$

来源：《实用偏微分方程》(Richard Haberman) 2.5

17、给出以下两个定理的双射证明：

$\begin{aligned} &\prod_{k\ge 1}(1+x^k)=\prod_{j\ge 1}\frac{1}{1-x^{2j-1}} \\&\prod_{k\ge 1}(1-x^k)=1+\sum_{j\ge 1}(-1)^j\left(x^{\frac{3j^2-j}{2}}-x^{\frac{3j^2+j}{2}}\right) \end{aligned}$