代数&数论趣题集萃

暑假总不能只学习平面几何。所以这里也收集一些有趣的代数题或数论题，同时记下解法的一些提示。给未来的自己复习参考用。

多图片预警（请注意流量） 

 

 

目录：

Part 0：其他(6)

Part 1：不等式(10) 

Part 2：Gauss 函数(10)

Part 3：反证法(7)

Part 4：抽屉原理及类似方法(4)

Part 5：归纳法、递推及类似方法(6)

 

Part 0：其他

1、

关键词：定义有效的势能函数。

 

2、

关键词：一定要相信是存在的！中国剩余定理。

 

3、

关键词：从特殊到一般。Sigma，Average。

 

4、 

（IMO2019第1题）

关键词：特殊点值；不停凑式子！

 

5、（这里混入一个图论题）

（IMO2019第3题）

关键词：度数奇偶性；按一定规则调整；Oier怎能不会图论

 

6、

（IMO2019第4题）

关键词：求范围后枚举

 

 

Part 1：不等式

1、

 关键词：三角换元

 

2、

方法一（朴素做法）：基本不等式或函数思想

方法二（三角换元）

 

3、

关键词：三角换元，求导

 

4、

已知 a,b,c ≥ 0, ab+bc+ac=1, 求 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)的最小值。

关键词：调整法

 

 

5、

关键词：特殊值，通分

 

6、

关键词：基本不等式

 

7、

若a,b,c是△ABC的三边长，求证：$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0$。

关键词：换元，消除三角形约束。 

 

8、

证明：当$x>0,y>0$时，$x^y+y^x>1$。

关键词：伯努力不等式

 

9、

关键词：先猜后证

方法一：齐次后基本不等式

方法二：调整法，分情况讨论

 

10、（来自同学笔记）

设 $x_i$ 为正实数（$1\le i \le n$），$x_{n+1}=x_1$，$x_{n+2}=x_2$

求证： $\sum_{1\le i \le n} x_i \cdot x_{i+1} \le \sum_{1\le i \le n} \frac{2\cdot x_{i+1}^2(x_i+x_{i+2})}{x_i+2\cdot x_{i+1}+x_{i+2}}$

 

 

Part 2：Gauss 函数（下取整函数）（from 中等数学 2011.8）

 

1、

关键词：换元，不等约束，最大公约数。

 

2、

关键词：质因数分解，完全剩余系（or 威尔逊定理）。

 

3、

关键词：[x]与{x}转换，分子有理化。

 

4、

关键词：同上题。

 

5、

关键词：lucas定理。

（题解即用高斯函数证明了lucas）

 

6、

（Oier用二进制证起来舒适啊）

证法一：二进制

证法二：Gauss函数的意义

（喊一句666！）

 

7、

关键词：Gauss函数的意义

（在寻梦圆度假时间想了一天这题。。灵感迸发时却发现异常简单。）

（是我太不熟练了！）

 

 

8、

关键词：先猜后证

 

9、

关键词：凑整

 

10、

关键词：二进制 

 

Part 3：反证法（from 中等数学 2011.9）

虽然下面的题目的精髓基本不在反证法。

就当成是披着反证法外衣的杂题集吧

 

1、

关键词：无

 

2、

 

关键词：反证法，质因子

 

3、

 未解决……

 

4、

未解决……

 

5、

 

 关键词：同余方程。费马小定理。

 

6、

若对于任意正整数n，满足(a^n-n)是(b^n-n)的倍数（a,b为>1的正整数）。证明a=b 。

关键词：无

 

7、

一个9个点的图中若不存在4个点的团，那么必定存在3个互相之间没有边的点

关键词：无

 

Part 4：抽屉原理及类似（来自同学笔记）

1、给定a>1，已知{bn}有上界，各项为>=2的正整数，{an}为正整数序列，a[n+1]=a[n]*b[n]。

求证：存在无穷多个p，使得p是(2^a[n]+a)的质因子。

关键词：反证法

 

2、若 $t=x^3+y^2$（$x,y$为正整数），则 $t$为好数。

求证：对于任意$n>=2$，存在无穷多个$m，\{ m+1,...,m+n^2 \}$中恰含 $n+1$ 个好数。

关键词：连续性。

 

3、N={0,1,...,2000}，满足|S|=401∈N。证明：存在n，使得至少70个x满足，x,n+x∈S。

关键词：无

 

Part 5：归纳法与递推

1、

（IMO2019第5题）

关键词：树状图；数学归纳；数列

 

2、

 

（USAMO2019 Problem 1）

关键词：数归，奇偶

 

3、 

对任意奇数a，存在正整数 $x$, $y$，满足 $x^x mod (2^y) = a$。

关键词：数学归纳法

 

4、

证明：

1、存在无穷多正整数对 $n$, $m$，满足 $n|m^2+1，m|n^2+1$。

2、对任意正整数 $s$，存在无穷多正整数对 $n$，$m$，满足 $n|m^2+s，m|n^2+s$。

关键词：递推、迭代

 

5、

证明：存在无穷多正整数对 $n$，$m$，满足 $\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}$ 为整数。

关键词：和上题无太大差别

 

6、

证明：若 $4ab-1|(4a^2-1)^2$（$a,b$为正整数），则a=b。

关键词：无穷递降