NC20277 [SCOI2010]字符串

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题目

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入描述

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出描述

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

示例1

输入

2 2

输出

2

备注

对于30%的数据，保证 $1\leq m\leq n\leq 10^3$ 。
对于100%的数据，保证 $1\leq m\leq n\leq 10^6$ 。

题解

知识点：卡特兰数。

这道题是卡特兰数的变种，即终点不在 $(n,n)$ 而在 $(n,m)(n \geq m)$ 。

思路是完全一样的，任意非法路径沿 $y = x+1$ 翻折，将唯一对应一条终点在 $(m-1,n+1)$ 的路径，同时任意一条终点在 $(m-1,n+1)$ 的路径都对应一条非法路径，所以这两者是一一对应的。因此，答案是 $\dbinom{n+m}{m} - \dbinom{n+m}{m-1}$ 。

时间复杂度 $O(n+m)$

空间复杂度 $O(n+m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int P = 20100403;
namespace Number_Theory {
    const int N = 2e6 + 7;
    int qpow(int a, ll k) {
        int ans = 1;
        while (k) {
            if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
            k >>= 1;
            a = 1LL * a * a % P;
        }
        return ans;
    }
    int fact[N], invfact[N];
    void init(int n) {
        fact[0] = 1;
        for (int i = 1;i <= n;i++) fact[i] = 1LL * i * fact[i - 1] % P;
        invfact[n] = qpow(fact[n], P - 2);
        for (int i = n;i >= 1;i--) invfact[i - 1] = 1LL * invfact[i] * i % P;
    }
}
namespace CNM {
    using namespace Number_Theory;
    int C(int n, int m) {
        if (n == m && m == -1) return 1; //* 隔板法特判
        if (n < m || m < 0) return 0;
        return 1LL * fact[n] * invfact[n - m] % P * invfact[m] % P;
    }
}
namespace Catalan {
    int F(int n, int m) { return (CNM::C(n + m, m) - CNM::C(n + m, m - 1) + P) % P; }
    int H(int n) { return F(n, n); }
}
/// Catalan数，O(n)，质数模数下利用组合数快速求出Catalan数
//* F为推广形式，在合法条件下到达任意终点(n,m)的方案数（n >= m）
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    Number_Theory::init(n + m);
    cout << Catalan::F(n, m) << '\n';
    return 0;
}