NC19872 [AHOI2005]SHUFFLE 洗牌

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题目

题目描述

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

输入描述

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

输出描述

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

示例1

输入

6 2 3

输出

6

题解

知识点：线性同余方程。

注意到，数字位置的改变满足方程 \(pos_{i+1} \equiv 2pos_i \pmod{n+1}\) ，因此 \(2^{-1} pos_{i+1} \equiv pos_i \pmod{n+1}\) 。

所以， \(M\) 轮后位置在 \(L\) 的数字为 \(2^{-m}L \bmod (n+1)\) 。

时间复杂度 \(O(\log m)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
using ll = long long;

ll qpow(ll a, ll k, ll P) {
    ll ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = (__int128_t)ans * a % P;
        k >>= 1;
        a = (__int128_t)a * a % P;
    }
    return ans;
}
/// 快速幂，O(logk)，底数越大速度慢的越快

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    ll n, m, l;
    cin >> n >> m >> l;
    cout << (int)((__int128_t)l * qpow(n / 2 + 1, m, n + 1) % (n + 1)) << '\n';
    return 0;
}