NC20313 [SDOI2008]仪仗队

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题目

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。

仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入描述

共一个数N。

输出描述

共一个数，即C君应看到的学生人数。

示例1

输入

4

输出

9

备注

对于 100% 的数据，$1 \le N \le 40000$

题解

知识点：欧拉函数，筛法。

经典老题。

不妨关注下三角区域，上三角区域答案是一样的。

我们以左下角为 $(0,0)$ 原点，发现 $x \geq 2$ 的每列的答案为 $\varphi(x)$ ，因为当且仅当横纵坐标互质时，这个点不会被任何点遮挡（不存在一个点的它的约数）。$x = 1$ 时，答案为 $\varphi(1) + 1$ ，因为特判 $y=0$ 的情况。

最后，还要减去对角线的重复情况，答案为 $\displaystyle 2+2\sum_{i=1}^{n-1} \varphi(i) - 1$ ， $n=1$ 时答案特判为 $0$ 。

欧拉函数可以通过线性筛得到。

时间复杂度 $O(n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int N = 40007;
bool vis[N];
vector<int> prime;
int phi[N];
void get_euler(int n) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime.push_back(i);
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (auto j : prime) {
            if (i * j > n)break;
            vis[i * j] = 1;
            if (!(i % j)) {
                phi[i * j] = j * phi[i];
                break;
            }
            phi[i * j] = (j - 1) * phi[i];
        }
    }
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    get_euler(n - 1);
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n - 1;i++) ans += phi[i];
    ans = ans * 2 + (n >= 2);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}