NC20812 绿魔法师

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“我不知道你在说什么,因为我只是个pupil。”--绿魔法师

一个空的可重集合S。
n次操作,每次操作给出x,k,p,执行以下操作:
1、在S中加入x。
2、输出 \(\sum_{y \in S}{gcd(x,y)^k} (mod p)\)

输入描述

所有输入的数都是小于1e5+1的正整数。

输出描述

输出对应的结果

示例1

输入

3
4 1 9
5 2 8
6 3 7

输出

4
2
1

题解

知识点:因数集合,GCD与LCM,容斥原理,枚举。

每次插入一个数 \(x\) 时,因为 \(\gcd(y,x)\) 的值一定不会出现 \(x\) 因数之外的数,所以考虑枚举这个数的因数 \(d\) 作为 \(\gcd(x,y)\) 时的贡献,即有多少个 \(y\) 满足条件。

我们先预处理出数据范围内所有数的因数,用 \(cnt_d\) 表示整个集合中存在因数 \(d\) 的数的个数,方便之后计数。

因为是最大公约数,应该先考虑较大数的贡献,计算完较大数后,在计算较小数时应减去较大数的影响,所以我们从大到小枚举因数,同时对较小因数做一个容斥。

因此,每次加入一个数 \(x\) 时,用 \(tot_d\) 表示 \(gcd(y,x) = d\)\(y\) 的个数,即 \(d\) 产生的贡献。那么, \(tot_d\) 应该等于 \(cnt_d\) 减去它所有是 \(x\) 的因数的倍数 \(d'\) 的贡献 \(tot_{d'}\) ,即 \(\displaystyle tot_d = cnt_d - \sum_{d \mid d',d'|x} tot_{d'}\) 。这个可以在我们遇到 \(d'\) 时对它的因数贡献减去 \(tot_{d'}\) 来维护。

最后,对于一个因数 \(d\) 产生的贡献为 \(tot_d \cdot d^k\) ,累和即可。

复杂度的上界确实是 \(O(n \max\{x\})\) ,但是跑不满,因为因数个数的上界 \(O(\sqrt {\max\{x\}})\) 是非常松的,这里的总计算量级差不多 \(10^8\)

时间复杂度 \(O(n \cdot \max\{x\})\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

vector<int> factor[100007];
void get_factor(int n) {
    for (int i = n;i >= 1;i--)
        for (int j = 1;i * j <= n;j++)
            factor[i * j].push_back(i);
}

int qpow(int a, int k, int P) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
        k >>= 1;
        a = 1LL * a * a % P;
    }
    return ans;
}

int cnt[100007];//S中i的倍数的个数
int tot[100007];//gcd(x,y)=i的y的个数,通过容斥维护
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    get_factor(100000);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x, k, p;
        cin >> x >> k >> p;
        int ans = 0;
        for (auto d : factor[x]) {
            tot[d] += ++cnt[d];// 以d为gcd的个数 = d的倍数个数 - d的倍数作为gcd的数字个数
            if (!tot[d]) continue;
            (ans += 1LL * tot[d] * qpow(d, k, p) % p) %= p;
            int tmp = tot[d];
            for (auto dd : factor[d]) tot[dd] -= tmp; // 给dd减去的其倍数d作为gcd的数字个数
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}
posted @ 2023-08-26 00:50  空白菌  阅读(15)  评论(0编辑  收藏  举报