NC14731 逆序对

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题目

题目描述

求所有长度为n的01串中满足如下条件的二元组个数：
设第i位和第j位分别位ai和aj（i<j），则ai=1,aj=0。
答案对1e9+7取模。

输入描述

输入一个n。

输出描述

输出答案对1e9+7取模

示例1

输入

3

输出

6

说明

备注

\(n \leq 10^{18}\)

题解

知识点：组合数学，枚举。

考虑枚举每对位置 \((i,j)\) 对逆序对产生的贡献。显然，对于每一对位置都有 \(2^{n-2}\) 种方案使得这对位置产生贡献，共有 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) 对位置，因此最终答案为 \(\dfrac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2}\) 。

时间复杂度 \(O(\log n)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int P = 1e9 + 7;
int qpow(int a, ll k) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
        k >>= 1;
        a = 1LL * a * a % P;
    }
    return ans;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    ll n;
    cin >> n;
    if (n == 1) cout << 0 << '\n';
    else if (n == 2) cout << 1 << '\n';
    else cout << (n % P) * ((n - 1) % P) % P * qpow(2, n - 3) % P << '\n';
    //枚举所有可能的(1，0)对，每对有2^(n-2)种方案，共n(n-1)/2对
    return 0;
}