NC20139 [JLOI2014]松鼠的新家

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题目

题目描述

松鼠的新家是一棵树，前几天刚刚装修了新家，新家有n个房间，并且有n-1根树枝连接，每个房间都可以相互到达，且俩个房间之间的路线都是唯一的。天哪，他居然真的住在“树”上。

松鼠想邀请维尼小熊前来参观，并且还指定一份参观指南，他希望维尼能够按照他的指南顺序，先去a1，再去a2，……，最后到an，去参观新家。

可是这样会导致维尼重复走很多房间，懒惰的维尼不听地推辞。可是松鼠告诉他，每走到一个房间，他就可以从房间拿一块糖果吃。维尼是个馋家伙，立马就答应了。

现在松鼠希望知道为了保证维尼有糖果吃，他需要在每一个房间各放至少多少个糖果。

因为松鼠参观指南上的最后一个房间an是餐厅，餐厅里他准备了丰盛的大餐，所以当维尼在参观的最后到达餐厅时就不需要再拿糖果吃了。

输入描述

第一行一个整数n，表示房间个数
第二行n个整数，依次描述a1-an
接下来n-1行，每行两个整数x，y，表示标号x和y的两个房间之间有树枝相连。

输出描述

一共n行，第i行输出标号为i的房间至少需要放多少个糖果，才能让维尼有糖果吃。

示例1

输入

5
1 4 5 3 2
1 2
2 4
2 3
4 5

输出

1
2
1
2
1

备注

对于全部的数据，\(2 \le n \le 3 \times 10^5,1 \le a_i \le n\) 。

题解

知识点：差分，LCA。

可以用树剖解决，但对于这种最后查询的问题，可以不那么麻烦，用树上差分就行。

我们对相邻两个点的路径做路径加 \(1\) ，可以差分配合LCA实现，最后用做一次树上前缀和即可。

注意，两次路径的端点相交处只需要走一次，因此我们我们对相交的点的答案减 \(1\) 即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

空间复杂度 \(O(n \log n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 3e5 + 7;
int a[N];
vector<int> g[N];

int f[27][N], dep[N];
void dfs(int u, int fa) {
    f[0][u] = fa;
    dep[u] = dep[fa] + 1;
    for (int i = 1;i <= 20;i++) f[i][u] = f[i - 1][f[i - 1][u]];
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
}

int LCA(int u, int v) {
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    for (int i = 20;i >= 0;i--) {
        if (dep[f[i][u]] >= dep[v]) u = f[i][u];
        if (u == v) return u;
    }
    for (int i = 20;i >= 0;i--) {
        if (f[i][u] != f[i][v]) {
            u = f[i][u];
            v = f[i][v];
        }
    }
    return f[0][u];
}

int dist(int u, int v) { return dep[u] + dep[v] - 2 * dep[LCA(u, v)]; }

int delta[N], add[N];
void calc(int u, int fa) {
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        calc(v, u);
        delta[u] += delta[v];
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n - 1;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    dfs(1, 0);

    for (int i = 2;i <= n;i++) {
        int u = a[i - 1], v = a[i];
        int lca = LCA(u, v);
        delta[u]++;
        delta[v]++;
        delta[lca]--;
        delta[f[0][lca]]--;
    }
    calc(1, 0);
    for (int i = 2;i <= n;i++) delta[a[i]]--;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cout << delta[i] << '\n';
    return 0;
}