NC20279 [SCOI2010]序列操作
题目
题目描述
lxhgww最近收到了一个01序列,序列里面包含了n个数,这些数要么是0,要么是1,现在对于这个序列有五种变换操作和询问操作:
0 a b 把[a, b]区间内的所有数全变成0
1 a b 把[a, b]区间内的所有数全变成1
2 a b 把[a,b]区间内的所有数全部取反,也就是说把所有的0变成1,把所有的1变成0
3 a b 询问[a, b]区间内总共有多少个1
4 a b 询问[a, b]区间内最多有多少个连续的1
对于每一种询问操作,lxhgww都需要给出回答,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
输入描述
输入数据第一行包括2个数,n和m,分别表示序列的长度和操作数目
第二行包括n个数,表示序列的初始状态
接下来m行,每行3个数,op, a, b,(0 ≤ op ≤ 4,0 ≤ a ≤ b)
输出描述
对于每一个询问操作,输出一行,包括1个数,表示其对应的答案
示例1
输入
10 10
0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 2
3 0 5
2 2 2
4 0 4
0 3 6
2 3 7
4 2 8
1 0 5
0 5 6
3 3 9
输出
5
2
6
5
备注
对于30%的数据, \(1\le n,m \le 1000\) ;
对于100%的数据, \(1\le n,m \le 10^5\) 。
题解
知识点:线段树。
这一道题维护的信息较多需要逐一分析。
为了方便求区间长度,还有取反的操作,我们将 \(0,1\) 的信息都维护一下,但接下来只讲 \(1\) 的部分, \(0\) 同 \(1\) 就不讲了。
首先需要维护的是 \(1\) 的数量 \(sum1\) ,以及连续 \(1\) 个数的最大值 \(max1\) 。
在合并时, \(sum1\) 直接加即可。 \(max1\) 不仅要取子区间的 \(max1\) , 还需要考虑左子区间从右端点开始连续的 \(1\) ,以及右子区间从左端点开始连续的 \(1\) ,两部分拼起来的长度。因此还需要维护,区间从左端点开始连续 \(1\) 的个数 \(left1\) ,从右端点开始连续 \(1\) 的个数 \(right1\) 。
对于 \(left1,right1\) ,在合并时,要考虑一个特殊情况,左子区间 \(left1\) 等于区间长度(可用 \(sum0 + sum1\) 表示),那么他可以与右子区间的 \(left1\) 相加,得到区间的 \(left1\) , \(right1\) 同理。除此之外,直接继承即可。
因此,区间信息需要维护 \(sum0/1,max0/1,left0/1,right0/1\) 。
区间修改需要维护三种修改标记:全 \(0\) 、全 \(1\) 、取反。三种的区间修改都十分好实现,前两种直接改为区间长度,取反交换 \(0/1\) 即可。另外,考虑到标记下传需要一个标记表示没有修改,即单位元值,以供函数特判。
因此,区间修改需要维护 \(0/1/2/3\) (无修改、全 \(0\) 、全 \(1\) 、取反)。
懒标记的修改需要分类讨论:
- 修改为未修改,则新标记维持原状。
- 修改为全 \(0\) ,则新标记为全 \(0\) 。
- 修改为全 \(1\) ,则新标记为全 \(1\) 。
- 修改为取反,则分类讨论:
- 若原标记为未修改,则新标记为取反。
- 若原标记为全 \(0\) ,则新标记为全 \(1\) 。
- 若原标记为全 \(1\) ,则新标记为全 \(0\) 。
- 若原标记为取反,则新标记为未修改。
于是所有信息就维护完了。
时间复杂度 \(O((n+m) \log n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
struct T {
int sum0, sum1;
int max0, max1;
int left0, left1;
int right0, right1;
static T e() {
return {
0,0,
0,0,
0,0,
0,0
};
}
friend T operator+(const T &a, const T &b) {
return{
a.sum0 + b.sum0,a.sum1 + b.sum1,
max({a.max0,b.max0,a.right0 + b.left0}),max({a.max1,b.max1,a.right1 + b.left1}),
a.left0 == a.sum0 + a.sum1 ? a.left0 + b.left0 : a.left0,a.left1 == a.sum0 + a.sum1 ? a.left1 + b.left1 : a.left1,
b.right0 == b.sum0 + b.sum1 ? b.right0 + a.right0 : b.right0,b.right1 == b.sum0 + b.sum1 ? b.right1 + a.right1 : b.right1
};
}
};
struct F {
int op;
static F e() { return{ 0 }; }
T operator()(const T &x) {
if (op == 0) return x;
else if (op == 1) return {
x.sum0 + x.sum1,0,
x.sum0 + x.sum1,0,
x.sum0 + x.sum1,0,
x.sum0 + x.sum1,0
};
else if (op == 2) return{
0,x.sum0 + x.sum1,
0,x.sum0 + x.sum1,
0,x.sum0 + x.sum1,
0,x.sum0 + x.sum1
};
else return{
x.sum1,x.sum0,
x.max1,x.max0,
x.left1,x.left0,
x.right1,x.right0
};
}
F operator() (const F &g) {
if (op == 0) return g;
else if (op == 1) return { 1 };
else if (op == 2) return { 2 };
else {
if (g.op == 0) return { 3 };
else if (g.op == 1) return { 2 };
else if (g.op == 2) return { 1 };
else return { 0 };
}
}
};
template<class T, class F>
class SegmentTreeLazy {
int n;
vector<T> node;
vector<F> lazy;
void push_down(int rt) {
node[rt << 1] = lazy[rt](node[rt << 1]);
lazy[rt << 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1]);
node[rt << 1 | 1] = lazy[rt](node[rt << 1 | 1]);
lazy[rt << 1 | 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1 | 1]);
lazy[rt] = F::e();
}
void update(int rt, int l, int r, int x, int y, F f) {
if (r < x || y < l) return;
if (x <= l && r <= y) return node[rt] = f(node[rt]), lazy[rt] = f(lazy[rt]), void();
push_down(rt);
int mid = l + r >> 1;
update(rt << 1, l, mid, x, y, f);
update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, f);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
}
T query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
if (r < x || y < l) return T::e();
if (x <= l && r <= y) return node[rt];
push_down(rt);
int mid = l + r >> 1;
return query(rt << 1, l, mid, x, y) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
}
public:
SegmentTreeLazy(int _n = 0) { init(_n); }
SegmentTreeLazy(int _n, const vector<T> &src) { init(_n, src); }
void init(int _n) {
n = _n;
node.assign(n << 2, T::e());
lazy.assign(n << 2, F::e());
}
void init(int _n, const vector<T> &src) {
init(_n);
function<void(int, int, int)> build = [&](int rt, int l, int r) {
if (l == r) return node[rt] = src[l], void();
int mid = l + r >> 1;
build(rt << 1, l, mid);
build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
};
build(1, 1, n);
}
void update(int x, int y, const F &f) { update(1, 1, n, x, y, f); }
T query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
};
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<T> a(n + 1);
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int x;
cin >> x;
a[i] = { 1 - x,x,1 - x,x,1 - x,x,1 - x,x };
}
SegmentTreeLazy<T, F> sgt(n, a);
while (m--) {
int op, l, r;
cin >> op >> l >> r;
l++, r++;
if (op == 0) sgt.update(l, r, { 1 });
else if (op == 1) sgt.update(l, r, { 2 });
else if (op == 2) sgt.update(l, r, { 3 });
else if (op == 3) cout << sgt.query(l, r).sum1 << '\n';
else cout << sgt.query(l, r).max1 << '\n';
}
return 0;
}
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