NC20279 [SCOI2010]序列操作

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题目

题目描述

lxhgww最近收到了一个01序列，序列里面包含了n个数，这些数要么是0，要么是1，现在对于这个序列有五种变换操作和询问操作：

0 a b 把[a, b]区间内的所有数全变成0

1 a b 把[a, b]区间内的所有数全变成1

2 a b 把[a,b]区间内的所有数全部取反，也就是说把所有的0变成1，把所有的1变成0

3 a b 询问[a, b]区间内总共有多少个1

4 a b 询问[a, b]区间内最多有多少个连续的1

对于每一种询问操作，lxhgww都需要给出回答，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入描述

输入数据第一行包括2个数，n和m，分别表示序列的长度和操作数目
第二行包括n个数，表示序列的初始状态
接下来m行，每行3个数，op, a, b，（0 ≤ op ≤ 4，0 ≤ a ≤ b）

输出描述

对于每一个询问操作，输出一行，包括1个数，表示其对应的答案

示例1

输入

10 10
0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 2
3 0 5
2 2 2
4 0 4
0 3 6
2 3 7
4 2 8
1 0 5
0 5 6
3 3 9

输出

5
2
6
5

备注

对于30%的数据， $1\le n,m \le 1000$ ；
对于100%的数据， $1\le n,m \le 10^5$ 。

题解

知识点：线段树。

这一道题维护的信息较多需要逐一分析。

为了方便求区间长度，还有取反的操作，我们将 $0,1$ 的信息都维护一下，但接下来只讲 $1$ 的部分， $0$ 同 $1$ 就不讲了。

首先需要维护的是 $1$ 的数量 $sum1$ ，以及连续 $1$ 个数的最大值 $max1$ 。

在合并时， $sum1$ 直接加即可。 $max1$ 不仅要取子区间的 $max1$ ， 还需要考虑左子区间从右端点开始连续的 $1$ ，以及右子区间从左端点开始连续的 $1$ ，两部分拼起来的长度。因此还需要维护，区间从左端点开始连续 $1$ 的个数 $left1$ ，从右端点开始连续 $1$ 的个数 $right1$ 。

对于 $left1,right1$ ，在合并时，要考虑一个特殊情况，左子区间 $left1$ 等于区间长度（可用 $sum0 + sum1$ 表示），那么他可以与右子区间的 $left1$ 相加，得到区间的 $left1$ ， $right1$ 同理。除此之外，直接继承即可。

因此，区间信息需要维护 $sum0/1,max0/1,left0/1,right0/1$ 。

区间修改需要维护三种修改标记：全 $0$ 、全 $1$ 、取反。三种的区间修改都十分好实现，前两种直接改为区间长度，取反交换 $0/1$ 即可。另外，考虑到标记下传需要一个标记表示没有修改，即单位元值，以供函数特判。

因此，区间修改需要维护 $0/1/2/3$ （无修改、全 $0$ 、全 $1$ 、取反）。

懒标记的修改需要分类讨论：

1. 修改为未修改，则新标记维持原状。
2. 修改为全 $0$ ，则新标记为全 $0$ 。
3. 修改为全 $1$ ，则新标记为全 $1$ 。
4. 修改为取反，则分类讨论：
   1. 若原标记为未修改，则新标记为取反。
   2. 若原标记为全 $0$ ，则新标记为全 $1$ 。
   3. 若原标记为全 $1$ ，则新标记为全 $0$ 。
   4. 若原标记为取反，则新标记为未修改。

于是所有信息就维护完了。

时间复杂度 $O((n+m) \log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
 
struct T {
    int sum0, sum1;
    int max0, max1;
    int left0, left1;
    int right0, right1;
    static T e() {
        return {
            0,0,
            0,0,
            0,0,
            0,0
        };
    }
    friend T operator+(const T &a, const T &b) {
        return{
            a.sum0 + b.sum0,a.sum1 + b.sum1,
            max({a.max0,b.max0,a.right0 + b.left0}),max({a.max1,b.max1,a.right1 + b.left1}),
            a.left0 == a.sum0 + a.sum1 ? a.left0 + b.left0 : a.left0,a.left1 == a.sum0 + a.sum1 ? a.left1 + b.left1 : a.left1,
            b.right0 == b.sum0 + b.sum1 ? b.right0 + a.right0 : b.right0,b.right1 == b.sum0 + b.sum1 ? b.right1 + a.right1 : b.right1
        };
    }
};
struct F {
    int op;
    static F e() { return{ 0 }; }
    T operator()(const T &x) {
        if (op == 0) return x;
        else if (op == 1) return {
            x.sum0 + x.sum1,0,
            x.sum0 + x.sum1,0,
            x.sum0 + x.sum1,0,
            x.sum0 + x.sum1,0
        };
        else if (op == 2) return{
            0,x.sum0 + x.sum1,
            0,x.sum0 + x.sum1,
            0,x.sum0 + x.sum1,
            0,x.sum0 + x.sum1
        };
        else return{
            x.sum1,x.sum0,
            x.max1,x.max0,
            x.left1,x.left0,
            x.right1,x.right0
        };
    }
    F operator() (const F &g) {
        if (op == 0) return g;
        else if (op == 1) return { 1 };
        else if (op == 2) return { 2 };
        else {
            if (g.op == 0) return { 3 };
            else if (g.op == 1) return { 2 };
            else if (g.op == 2) return { 1 };
            else return { 0 };
        }
    }
};
 
template<class T, class F>
class SegmentTreeLazy {
    int n;
    vector<T> node;
    vector<F> lazy;
 
    void push_down(int rt) {
        node[rt << 1] = lazy[rt](node[rt << 1]);
        lazy[rt << 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1]);
        node[rt << 1 | 1] = lazy[rt](node[rt << 1 | 1]);
        lazy[rt << 1 | 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1 | 1]);
        lazy[rt] = F::e();
    }
 
    void update(int rt, int l, int r, int x, int y, F f) {
        if (r < x || y < l) return;
        if (x <= l && r <= y) return node[rt] = f(node[rt]), lazy[rt] = f(lazy[rt]), void();
        push_down(rt);
        int mid = l + r >> 1;
        update(rt << 1, l, mid, x, y, f);
        update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, f);
        node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
    }
 
    T query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
        if (r < x || y < l) return T::e();
        if (x <= l && r <= y) return node[rt];
        push_down(rt);
        int mid = l + r >> 1;
        return query(rt << 1, l, mid, x, y) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
    }
 
public:
    SegmentTreeLazy(int _n = 0) { init(_n); }
    SegmentTreeLazy(int _n, const vector<T> &src) { init(_n, src); }
    void init(int _n) {
        n = _n;
        node.assign(n << 2, T::e());
        lazy.assign(n << 2, F::e());
    }
    void init(int _n, const vector<T> &src) {
        init(_n);
        function<void(int, int, int)> build = [&](int rt, int l, int r) {
            if (l == r) return node[rt] = src[l], void();
            int mid = l + r >> 1;
            build(rt << 1, l, mid);
            build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
            node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
        };
        build(1, 1, n);
    }
 
    void update(int x, int y, const F &f) { update(1, 1, n, x, y, f); }
 
    T query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
};
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<T> a(n + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        a[i] = { 1 - x,x,1 - x,x,1 - x,x,1 - x,x };
    }
    SegmentTreeLazy<T, F> sgt(n, a);
    while (m--) {
        int op, l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        l++, r++;
        if (op == 0) sgt.update(l, r, { 1 });
        else if (op == 1) sgt.update(l, r, { 2 });
        else if (op == 2) sgt.update(l, r, { 3 });
        else if (op == 3) cout << sgt.query(l, r).sum1 << '\n';
        else cout << sgt.query(l, r).max1 << '\n';
    }
    return 0;
}