NC23054 华华开始学信息学

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题目

题目描述

因为上次在月月面前丢人了，所以华华决定开始学信息学。十分钟后，他就开始学树状数组了。这是一道树状数组的入门题：

给定一个长度为 $N$ 的序列 $A$ ，所有元素初值为 $0$ 。接下来有 $M$ 次操作或询问：
操作：输入格式：1 D K，将 $A_D$ 加上 $K$ 。
询问：输入格式：2 L R，询问区间和，即 $\sum_{i=L}^{R}A_i$ 。

华华很快就学会了树状数组并通过了这道题。月月也很喜欢树状数组，于是给华华出了一道进阶题：
给定一个长度为 $N$ 的序列 $A$ ，所有元素初值为 $0$ 。接下来有 $M$ 次操作或询问：
操作：输入格式：1 D K，对于所有满足 $1\le i\le N$ 且 $i\equiv0 \pmod D$ 的 $i$ ，将 $A_i$ ​加上 $K$ 。
询问：输入格式：2 L R，询问区间和，即 $\sum_{i=L}^{R}A_i$ 。
华华是个newbie，怎么可能会这样的题？不过你应该会吧。

输入描述

第一行两个正整数 $N$ 、$M$ 表示序列的长度和操作询问的总次数。
接下来M行每行三个正整数，表示一个操作或询问。

输出描述

对于每个询问，输出一个非负整数表示答案。

示例1

输入

10 6
1 1 1
2 4 6
1 3 2
2 5 7
1 6 10
2 1 10

输出

3
5
26

备注

$1\le N,M\le10^5$ ， $1\le D\le N$ ， $1\le L\le R\le N$ ， $1\le K \le 10^8$

题解

知识点：树状数组，根号分治。

显然，这道题的修改并不能转化为可懒标记的区间修改，也没有很好的方法转化为单点修改。

我们可以考虑暴力优化的一种，根号分治。将修改操作的 $D$ 分为两部分，按阈值 $B$ 划分：

1. $D \leq B$ 时，采用标记法， 用 $add$ 数组表示某个 $D$ 加了多少，复杂度 $O(1)$ 。
2. $D > B$ 时，采用暴力修改法，倍增修改树状数组 $x \equiv 0 \pmod D$ 的点，复杂度 $O\left( \dfrac{n}{B} \log n \right)$ 。

修改总体复杂度为 $O\left( \dfrac{n}{B} \log n \right)$ 。

同时，查询操作也要随之改变：

1. $D \leq B$ 部分，暴力累和每个 $D$ 的贡献，即 $\displaystyle \sum_{i=1}^B add_i \cdot \left( \left \lfloor \frac{r}{i} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{l-1}{i} \right \rfloor \right)$ ，复杂度 $O(B)$。
2. $D>B$ 部分，直接查询树状数组即可，复杂度 $O(\log n)$ 。

查询总体复杂度为 $O(B + \log n)$ 。

我们尝试平衡查询和修改的复杂度。假设 $B$ 能使 $\log n$ 被忽略，则需要满足 $\dfrac{n}{B} \log n = B$ ，解得 $B = \sqrt{n \log n}$ 。因此， $B = \sqrt{n \log n}$ 是我们所需要的阈值，其能使总体复杂度为 $O(\sqrt{n \log n})$ 。

实际上，这道题用理论最优阈值时间不是最优的，用 $B = \sqrt n$ 快将近一倍，可能由于数据的 $D$ 普遍较小，使得查询代价上升较明显。

这里采用 $B = \sqrt n$ 阈值。

时间复杂度 $O(m\sqrt{n} \log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
 
template<class T>
class Fenwick {
    int n;
    vector<T> node;
public:
    Fenwick(int _n = 0) { init(_n); }
 
    void init(int _n) {
        n = _n;
        node.assign(n + 1, T::e());
    }
 
    void update(int x, T val) { for (int i = x;i <= n;i += i & -i) node[i] += val; }
 
    T query(int x) {
        T ans = T::e();
        for (int i = x;i >= 1;i -= i & -i) ans += node[i];
        return ans;
    }
 
    T query(int l, int r) { return query(r) - query(l - 1); }
};
 
struct T {
    ll sum;
    static T e() { return { 0 }; }
    T &operator+=(const T &x) { return sum += x.sum, *this; }
    friend T operator-(const T &a, const T &b) { return { a.sum - b.sum }; }
};
 
ll add[100007];
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    Fenwick<T> fw(n);
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int d, k;
            cin >> d >> k;
            if (d * d <= n) add[d] += k;
            else for (int i = d;i <= n;i += d) fw.update(i, { k });
        }
        else {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            ll ans = fw.query(l, r).sum;
            for (int i = 1;i * i <= n;i++) ans += add[i] * (r / i - (l - 1) / i);
            cout << ans << '\n';
        }
    }
    return 0;
}