组合数学笔记-计数原理

目录

• 计数原理
  • 基本计数原理
    • 加法原理（分类）
    • 乘法原理（分步）
    • 减法原理（正难则反）
    • 除法原理（等价划分）
  • 重要计数原理
    • 抽屉原理（鸽巢原理）
    • 容斥原理

约定：

本笔记涉及的一切变量，若未特殊指明，则默认为非负整数。

计数原理

基本计数原理

加法原理（分类）

描述 若完成一件事有 \(n\) 种方式，第 \(i\) 种方式有 \(a_i\) 种方法，那么完成这件事共有 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i\) 种方法。

应用 从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船 \(3\) 种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有 \(k_1,k_2,k_3\) 个班次，那么从武汉到上海共有 \(k_1+k_2+k_3\) 种方法可以到达。

乘法原理（分步）

描述 若完成一件事有 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 个步骤有 \(a_i\) 种方法，那么完成这件事共有 \(\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i\) 种方法。

应用 从武汉到上海乘火车要换乘 \(3\) 次，\(3\) 次换乘分别有 \(k_1,k_2,k_3\) 个班次，那么从武汉到上海共有 \(k_1 \cdot k_2 \cdot k_3\) 种方法可以到达。

减法原理（正难则反）

描述 若方法全集为 \(U\) ，则满足性质 \(A\) 的方法集合 \(S_A\) 为 全集-不满足性质A的方法集合 ，即 \(U - \overline{S_A}\) ，共有 \(|U| - |\overline{S_A}|\) 种方法。

应用 \([1,n]\) 中不能被 \(2\) 整除的整数个数为 全部数字-能被2整除的数字 ，即 \(|[1,n]| - |\{x| 2\mid x,1 \leq x \leq n \}| = n- \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor\) 。

除法原理（等价划分）

描述 若方法全集为 \(U\) ，恰好能被性质 \(A\) 划分成 \(k\) 个大小相等的等价类 \(S_i(1\leq i\leq n)\)（每个等价类内的方法对于性质 \(A\) 是同一种方法），则满足性质 \(A\) 的方法集合 \(S_A\) 为 每个等价类任选一个代表元组成的集合 ，共有 \(k = \dfrac{|U|}{|S_i|}\) 种方法。

应用 \(n\) 个数中选 \(m\) 个数的组合 \(C_n^m\) 为 选数的排列数/每个组合被重复计数的次数 ，共有 \(\dfrac{\text{P}_n^m}{\text{P}_m^m}\) 种。

重要计数原理

抽屉原理（鸽巢原理）

第一抽屉原理 把 \(n\) 个物品放入 \(m\) 个抽屉，则至少存在一个抽屉有至少 \(\left\lceil \dfrac{n}{m} \right\rceil\) 个物品。

第二抽屉原理 把 \(n\) 个物品放入 \(m\) 个抽屉，则至少存在一个抽屉有至多 \(\left\lfloor \dfrac{n}{m} \right\rfloor\) 个物品。

应用 \([1,2n]\) 中任选 \(n+1\) 个整数，一定存在互质的数。考虑给连续两个数分组 \((1,2),(3,4),\cdots,(2n-1,2n)\) ，根据第一抽屉原理，至少存在一个组两个数都被选了，这两个数一定互质。

容斥原理

描述 有 \(n\) 个集合 \(S_i(1\leq i \leq n)\) ，那么其全集大小 \(\displaystyle \left| \bigcup_{i=1}^n S_i\right|\) 满足

\[\begin{aligned} \left| \bigcup_{i=1}^n S_i\right| &= \sum_{1\leq i_1 \leq n} |S_{i_1}| - \sum_{1\leq i_1<i_2 \leq n} |S_{i_1} \cap S_{i_2}| + \cdots + (-1)^{n-1} |S_1 \cap S_2 \cap \cdots \cap S_n| \\ &= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1<i_2< \cdots < i_k \leq n} \left| \bigcap_{j=1}^k S_{i_j} \right|\\ &= \sum_{T \subseteq [1,n]} (-1)^{|T|-1}\left| \bigcap_{i\in T}S_i \right| \end{aligned} \]

应用 \([1,n]\) 中能被 \(2\) 和 \(3\) 整除的整数个数为 能被2整除的数字+能被3整除的数字-能被6整除的数字 ，即 \(n- \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{n}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{6} \right\rfloor\) 。