组合数学笔记-计数原理

目录

• 计数原理
  • 基本计数原理
    • 加法原理（分类）
    • 乘法原理（分步）
    • 减法原理（正难则反）
    • 除法原理（等价划分）
  • 重要计数原理
    • 抽屉原理（鸽巢原理）
    • 容斥原理

约定：

本笔记涉及的一切变量，若未特殊指明，则默认为非负整数。

计数原理

基本计数原理

加法原理（分类）

描述 若完成一件事有 $n$ 种方式，第 $i$ 种方式有 $a_i$ 种方法，那么完成这件事共有 $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i$ 种方法。

应用 从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船 $3$ 种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有 $k_1,k_2,k_3$ 个班次，那么从武汉到上海共有 $k_1+k_2+k_3$ 种方法可以到达。

乘法原理（分步）

描述 若完成一件事有 $n$ 个步骤，第 $i$ 个步骤有 $a_i$ 种方法，那么完成这件事共有 $\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i$ 种方法。

应用 从武汉到上海乘火车要换乘 $3$ 次，$3$ 次换乘分别有 $k_1,k_2,k_3$ 个班次，那么从武汉到上海共有 $k_1 \cdot k_2 \cdot k_3$ 种方法可以到达。

减法原理（正难则反）

描述 若方法全集为 $U$ ，则满足性质 $A$ 的方法集合 $S_A$ 为 全集-不满足性质A的方法集合 ，即 $U - \overline{S_A}$ ，共有 $|U| - |\overline{S_A}|$ 种方法。

应用 $[1,n]$ 中不能被 $2$ 整除的整数个数为 全部数字-能被2整除的数字 ，即 $|[1,n]| - |\{x| 2\mid x,1 \leq x \leq n \}| = n- \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor$ 。

除法原理（等价划分）

描述 若方法全集为 $U$ ，恰好能被性质 $A$ 划分成 $k$ 个大小相等的等价类 $S_i(1\leq i\leq n)$（每个等价类内的方法对于性质 $A$ 是同一种方法），则满足性质 $A$ 的方法集合 $S_A$ 为 每个等价类任选一个代表元组成的集合 ，共有 $k = \dfrac{|U|}{|S_i|}$ 种方法。

应用 $n$ 个数中选 $m$ 个数的组合 $C_n^m$ 为 选数的排列数/每个组合被重复计数的次数 ，共有 $\dfrac{\text{P}_n^m}{\text{P}_m^m}$ 种。

重要计数原理

抽屉原理（鸽巢原理）

第一抽屉原理 把 $n$ 个物品放入 $m$ 个抽屉，则至少存在一个抽屉有至少 $\left\lceil \dfrac{n}{m} \right\rceil$ 个物品。

第二抽屉原理 把 $n$ 个物品放入 $m$ 个抽屉，则至少存在一个抽屉有至多 $\left\lfloor \dfrac{n}{m} \right\rfloor$ 个物品。

应用 $[1,2n]$ 中任选 $n+1$ 个整数，一定存在互质的数。考虑给连续两个数分组 $(1,2),(3,4),\cdots,(2n-1,2n)$ ，根据第一抽屉原理，至少存在一个组两个数都被选了，这两个数一定互质。

容斥原理

描述 有 $n$ 个集合 $S_i(1\leq i \leq n)$ ，那么其全集大小 $\displaystyle \left| \bigcup_{i=1}^n S_i\right|$ 满足

$$\begin{aligned} \left| \bigcup_{i=1}^n S_i\right| &= \sum_{1\leq i_1 \leq n} |S_{i_1}| - \sum_{1\leq i_1<i_2 \leq n} |S_{i_1} \cap S_{i_2}| + \cdots + (-1)^{n-1} |S_1 \cap S_2 \cap \cdots \cap S_n| \\ &= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1<i_2< \cdots < i_k \leq n} \left| \bigcap_{j=1}^k S_{i_j} \right|\\ &= \sum_{T \subseteq [1,n]} (-1)^{|T|-1}\left| \bigcap_{i\in T}S_i \right| \end{aligned}$$

应用 $[1,n]$ 中能被 $2$ 和 $3$ 整除的整数个数为 能被2整除的数字+能被3整除的数字-能被6整除的数字 ，即 $n- \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{n}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{6} \right\rfloor$ 。