Codeforces Round #836 (Div. 2) A-D

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A

题意

给一个字符串 \(s\) ,对其加倍,即每个字符后面追加一个相同字符。

加倍后可以重排列,要求构造一个回文串。

题解

知识点:构造。

既然可以重排列了,那顺序是随意的了,直接翻转加在原来的后面。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    string s;
    cin >> s;
    cout << s;
    reverse(s.begin(), s.end());
    cout << s << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

B

题意

构造有 \(n\) 个数的序列 \(a(1\leq a_i \leq 10^9)\) ,满足:

\[a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

题解

知识点:构造。

方法一

  1. \(n\) 为奇数,显然构造一样的 \(n\) 个数就行。

  2. \(n\) 为偶数,仿造奇数情况,尝试在 \(n-1\) 个数 \(a\) 后加一个数 \(b\) ,于是我们只要找到满足 \(n(a \oplus b) = (n-1)a + b\)\(a\)\(b\) 即可。

    假设 \(a>b\) ,根据需要满足的条件可以得到 \(a \oplus b < a\) ,因此我们需要用 \(b\) 通过异或缩小 \(a\)

    我们假设 \(b\) 只会消去一些 \(a\) 的二进制位,而不会增加,那么 \(a \oplus b = a-b\) ,从而原方程变为 \(n(a-b) = (n-1)a + b\) ,解得 \(a = (n+1)b\)

    我们取 \(b = 1\) ,那么 \(a = n+1\) ,刚好满足两条假设 \(a>b\)\(a \oplus b = a-b\) ,因此是合法的。

方法二

  1. \(n\) 为奇数,构造 \(n\)\(2\)
  2. \(n\) 为偶数,构造 \(n-2\)\(2\) ,随后 \(1\)\(3\)

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

方法一

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n - 1;i++)  cout << n + 1 << ' ';
    if (n & 1) cout << n + 1 << '\n';
    else cout << 1 << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

方法二

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    if (n == 1) {
        cout << 2 << '\n';
        return true;
    }
    for (int i = 1;i <= n - 2;i++)  cout << 2 << ' ';
    if (n & 1) cout << 2 << ' ' << 2 << '\n';
    else cout << 1 << ' ' << 3 << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

C

题意

给出 \(n,x\) ,构造一个长为 \(n\) 的排列 \(p\) ,满足 \(p_1 = x,p_n = 1\) ,且 \(p_i\)\(i\) 的倍数,其中 \(2\leq i \leq n-1\) ,多个答案输出字典序最小的。

题解

方法一

知识点:构造,分解质因数。

注意到 \(n \mod x \neq 0\) 时,一定不存在方案。因为 \(x\) 不是合法的位置,那么假设 \(n\) 放在任意合法的位置,那个位置的数一定会替换在他前面合法位置的数。但这些数一定是 \(n\) 的因子,那么一定不是 \(x\) 的倍数,替换到最后一定会有一个素数没地方放,因此无解。

如果有解,我们要让字典序最小。因为 \(x\) 空出来了,我们可以每次往前提最小的合法的数字,这样字典序最小。

我们可以分解 \(d = \frac {n}{x}\) 的质因子,得到 \(d = a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_n^{k_n}\) ,每次让当前位置下标乘上目前最小质因子的数填到当前位置,即

\[\begin{aligned} & p_x = a_1x\\ & p_{a_1x} = a_1^2x \\ & \cdots\\ & p_{a_1^{k_1-1}} = a_1^{k_1}x\\ & p_{a_1^{k_1}} = a_1^{k_1}a_2x\\ & \cdots\\ & p_{a_1^{k_1}a_2^{k_2} \cdots a_n^{k_n-1}} = dx = n \end{aligned} \]

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(\sqrt n)\)

方法二

知识点:构造,数论。

\(n \mod x \neq 0\) 无解。

如果有解,我们先令排列 \(x,2,\cdots,x-1,n,x+1,\cdots,n-1,1\) ,然后把 \(n\) 往后移。设当前 \(p_{cur} = n\) ,如果一个位置 \(i\) 满足 $n \mod i = i \mod cur = 0 $ 那么可以把 \(p_i\)\(p_{cur}\) 交换,这样就将小的数字往前提了。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

方法一

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    if (n % x) return false;
    int d = n / x;
    vector<int> ft;
    for (int i = 2;i <= d / i;i++) {
        while (d % i == 0) ft.push_back(i), d /= i;
    }
    if (d > 1) ft.push_back(d);
    reverse(ft.begin(), ft.end());
    cout << x << ' ';
    int mul = 1;
    for (int i = 2;i <= n - 1;i++) {
        if (i == mul * x) cout << ((mul *= ft.back()) * x) << ' ', ft.pop_back();
        else cout << i << ' ';
    }
    cout << 1 << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

方法二

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    if (n % x) return false;
    vector<int> v(n + 1);
    for (int i = 2;i <= n - 1;i++) v[i] = i;
    v[1] = x;
    v[x] = n;
    v[n] = 1;
    int cur = x;
    for (int i = x + 1;i <= n - 1;i++) {
        if (i % cur == 0 && n % i == 0) swap(v[cur], v[i]), cur = i;
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) cout << v[i] << ' ';
    cout << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

D

题意

构造含有 \(n\) 个数的序列 \(a(1\leq a_i\leq 10^9)\) ,满足:

\[\max(a_1,a_2,\cdots,a_n) - \min(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i} \]

题解

知识点:构造。

  1. \(n\) 为偶数时,容易构造等式结果为 \(n\) 的序列 \(n - \frac{n}{2},\cdots ,n-1,n+1,\cdots ,n - \frac{n}{2}\)

  2. \(n\) 为奇数时,可以仿造 \(n\) 为偶数的操作,但发现构造等式结果为 \(n\) 的序列是不可能的,原因是数字之间的间隔太小,数字大小上没有操作空间,因此尝试构造等式结果为 \(2n\) 的序列。

    同样对称操作,\(3n,3n+\lfloor \frac{2n}{n-1} \rfloor,\cdots ,3n+(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1) \lfloor \frac{2n}{n-1} \rfloor, 4n,5n-(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1) \lfloor \frac{2n}{n-1} \rfloor,\cdots ,5n-\lfloor \frac{2n}{n-1} \rfloor,5n\) 即可。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    if (n & 1) {
        int d = 2 * n / (n - 1);
        for (int i = 1;i <= n / 2;i++) cout << 3 * n + (i - 1) * d << ' ';
        cout << 4 * n << ' ';
        for (int i = n / 2;i >= 1;i--) cout << 5 * n - (i - 1) * d << ' ';
    }
    else {
        for (int i = n - n / 2;i <= n + n / 2;i++) if (i != n) cout << i << ' ';
    }
    cout << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}
posted @ 2022-11-26 20:53  空白菌  阅读(106)  评论(7编辑  收藏  举报