NC20240 [SCOI2005]互不侵犯KING

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题目

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。

国王能攻击到它上下左右，以及左上 左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入描述

只有一行，包含两个数N，K （ 1 ≤ N ≤ 9, 0 ≤ K ≤ N * N）

输出描述

方案数。

示例1

输入

3 2

输出

16

题解

知识点：状压dp。

状压dp，不过规定要摆 $k$ 个（这里我用变量 $t$ 保存），因此要开一个状态表示放了几个。设 $dp[i][j][k]$ 表示放到第 $i$ 行，一共放了 $j$ 个，上一行的状态是 $k$ 。枚举 $i,j,k$ 和上一行的上一行状态 $l$ 。满足 j < num[k] || (k & (k << 1)) == 1 时 $k$ 不合法，满足 (k & l) || ((k << 1) & l) || ((k >> 1) & l) == 1 时 $l$ 不合法。有转移方程：

$$dp[i][j][k] = \sum_{l=0}^{2^n-1} dp[i - 1][j - num[k]][l];$$

时间复杂度 $O(nt\cdot 4^n)$

空间复杂度 $O(nt\cdot 2^n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
ll dp[15][90][1 << 10];
int num[1 << 10];
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, t; 
    cin >> n >> t;
    for (int i = 0;i <= (1 << n) - 1;i++) num[i] = __builtin_popcount(i);
    dp[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 0;j <= t;j++) {
            for (int k = 0;k <= (1 << n) - 1;k++) {
                if (j < num[k] || (k & (k << 1))) continue;
                for (int l = 0;l <= (1 << n) - 1;l++) {
                    if ((k & l) || ((k << 1) & l) || ((k >> 1) & l)) continue;
                    dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - num[k]][l];
                }
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 0;i <= (1 << n) - 1;i++) ans += dp[n][t][i];
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}