NC24263 USACO 2018 Feb G]Directory Traversal

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题目

题目描述

奶牛Bessie令人惊讶地精通计算机。她在牛棚的电脑里用一组文件夹储存了她所有珍贵的文件，比如：

bessie/
  folder1/
    file1
    folder2/
      file2
  folder3/
    file3
  file4
 

只有一个“顶层”的文件夹，叫做bessie。

Bessie可以浏览任何一个她想要访问的文件夹。从一个给定的文件夹，每一个文件都可以通过一个“相对路径”被引用。在一个相对路径中，符号“..”指的是上级目录。如果Bessie在folder2中，她可以按下列路径引用这四个文件：

../file1
file2
../../folder3/file3
../../file4

Bessie想要选择一个文件夹，使得从该文件夹出发，对所有文件的相对路径的长度之和最小。

输入描述

第一行包含一个整数N（2≤N≤100,000），为所有文件和文件夹的总数量。为了便于输入，每个对象（文件或文件夹）被赋予一个唯一的1至N之间的ID，其中ID 1指的是顶层文件夹。

接下来有N行。每行的第一项是一个文件或是文件夹的名称。名称仅包含小写字母a-z和数字0-9，长度至多为16个字符。名称之后是一个整数m。如果m为0，则该对象是一个文件。如果m>0，则该对象是一个文件夹，并且该文件夹下共有m个文件或文件夹。在m之后有m个整数，为该文件夹下的对象的ID。

输出描述

输出所有文件的相对路径的长度之和的最小值。注意这个值可能超过32位整数的表示范围。

示例1

输入

8
bessie 3 2 6 8
folder1 2 3 4
file1 0
folder2 1 5
file2 0
folder3 1 7
file3 0
file4 0

输出

42

说明

这个输入样例描述了上面给出的样例目录结构。
 
最优解是选择folder1。从这个文件夹出发，相对路径分别为：
 
file1
folder2/file2
../folder3/file3
../file4

题解

知识点：树形dp。

考虑树形dp，二次扫描+换根法。

设 $Size[u]$ 表示为以 $u$ 为根的子树叶节点数，$f[u]$ 表示以 $u$ 为根的子树的路径总长度（$u$ 文件名不包括在路径中）。转移方程为：

$$f[u] = \sum \big(f[v_i] + Size[v_i] \cdot (a[v_i]+1) \big)$$

表示 $v_i$ 子树下所有叶子节点的路径长度（不包括 $v_i$ 文件名）$f[v_i]$ ，都加上一段到文件夹 $v_i$ 的长度 $a[v_i]+1$ （文件名加一个斜杠）。

随后把通过子树的答案处理成整个树的答案，设 $ff[u]$ 表示为以 $u$ 为起点的路径总长度。转移方程为：

$$ff[v] = \left \{ \begin{aligned} &ff[u] - Size[v] \cdot (a[v] + 1) + 3 \cdot (Size[1] - Size[v]) & &,v不是叶子节点\\ &\inf & &,v是叶子节点 \end{aligned} \right.$$

叶子节点不能作为起点直接赋值无穷大，不影响其他节点求值，还方便最后处理最小值。可以通过 $f[v] = 0$ 来判断是叶子节点，也可以 $g[v].size = 1$ 来判断。

非叶子节点可以作为起点。当起点从 $u$ 改到 $v$ ， $v$ 子树的叶子节点需要减去 $v$ 的文件名长度 $Size[v] \cdot (a[v]+1)$，其他叶子节点需要加上从 $v$ 回溯到 $u$ 的路径 ../ 长度 $3 \cdot (Size[1]-Size[v])$ ，最后就得到 $ff[v]$ 的答案。

时间复杂度 $O(n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
 
using namespace std;
 
ll a[100007];
vector<int> g[100007];
ll Size[100007], f[100007], ff[100007];///以u为根的子树叶节点数，以u为根的子树的路径总长度，以u为起点的路径总长度
ll ans = ~(1LL << 63);
 
void dfs1(int u, int fa) {
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        Size[u] += Size[v];
        f[u] += f[v] + Size[v] * (a[v] + 1);///每条到叶子的路径加名字长度+一个斜杠，斜杠答案时候能删掉
    }
}
 
void dfs2(int u, int fa) {
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        if (f[v]) ff[v] = ff[u] - Size[v] * (a[v] + 1) + (Size[1] - Size[v]) * 3;///父节点全体路径减去自己的路径加上从自己这里到父节点的路径
        else ff[v] = ~(1LL << 63);
        dfs2(v, u);
    }
    ans = min(ans, ff[u]);
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int u = 1;u <= n;u++) {
        string s;
        cin >> s;
        a[u] = s.size();
        int m;
        cin >> m;
        if (!m) Size[u] = 1;
        for (int j = 1;j <= m;j++) {
            int v;
            cin >> v;
            g[u].push_back(v);
            g[v].push_back(u);
        }
    }
    dfs1(1, 0);
    //for (int i = 1;i <= n;i++) cout << Size[i] << ' ';
    //for (int i = 1;i <= n;i++) cout << f[i] << ' ';
    ff[1] = f[1];
    dfs2(1, 0);
    //for (int i = 1;i <= n;i++) cout << ff[i] << ' ';
    cout << ans - Size[1] << '\n';///路径把末尾的'\'删除，共Size[i]个
    return 0;
}
 
/*
8
bessie 3 2 6 8
folder1 2 3 4
file1 0
folder2 1 5
file2 0
folder3 1 7
file3 0
file4 0
 */