NC202475 树上子链

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题目

题目描述

给定一棵树 T ，树 T 上每个点都有一个权值。

定义一颗树的子链的大小为：这个子链上所有结点的权值和 。

请在树 T 中找出一条最大的子链并输出。

输入描述

第一行输入一个 $n,1 \le n \le 10^5$ 。
接下来一行包含n个数，对于每个数 $a_i, -10^5 \le a_i \le 10^5$ ，表示 i 结点的权值。
接下来有n-1行，每一行包含两个数u，v（ $1 \le u,v \le n$, u != v），表示u与v之间有一条边。

输出描述

仅包含一个数，表示我们所需要的答案。

示例1

输入

5
2 -1 -1 -2 3
1 2
2 3
2 4
2 5

输出

4

说明

样例中最大子链为1 -> 2 -> 5

备注

一个结点，也可以称作一条链

题解

知识点：树形dp，树的直径。

这道题是树的直径的变种题，树上权值最大链。

考虑以 $1$ 为根，设 $dp[u]$ 为以 $u$ 为根的子树中过 $u$ 的最大单链（指只沿着 $u$ 的一个子结点方向扩展，而不是分成两个子节点）。转移方程为：$dp[u] = \max(dp[u],dp[v_i]+a[u])$。

一颗子树 $u$ 的最大直径，可以通过其子节点的子树 $v_i$ 的最大直径的最大值，以及过自己点形成的链的最大值得到。而后者通过过 $u$ 的最长链加次长链得到。对于前者，我们只要求最大的即可，所以可以通过 $ans$ 记录目前为止最大直径，即可满足前者要求。后者的最长链加次长链有两种方法：

1. 记录一次遍历子节点中的最长链 $d_1$ 和次长链 $d_2$ ，最后 $\max (ans,d_1+d_2)$ 即可。
2. 可以通过在求 $dp[u]$ 的过程中得到，而不用两个变量记录。首先 $dp[u]$ 一定会经过最长链并且记录它，其次在其他情况必定会经过次长链，因此可以通过 $\max (ans,dp[u] + dp[v])$ 来表示目前为止过 $u$ 的最长链加上当前子节点的最长链的和。如果最长链在次长链之前，则显然可以；如果之后，则在遇到最长链之前一定是次长链最长，最后一定会得到次长链加最长链的情况，所以这种方法可行。需要注意的是，这步操作要在这次求 $dp[u]$ 之前完成，因为 $dp[u]$ 的更新包括了 $dp[v]$，如果放在这之后，会有可能加两次 $dp[v]$ ，然而这是不合法的。

个人觉得第二种求的方式比较方便。

扩展1：根节点确定，求树中各个子树的直径，只需要每次遍历子节点之后把最终ans记录下就行。

扩展2：求树中过每个子节点的最长链，这个需要求最长单链时记录最长单链和次长单链以及对应的节点，因为有可能该节点就在父节点的最长单链上，需要和父节点的次长单链结合，总体就是换根dp一下。

时间复杂度 $O(n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

方法一

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
vector<int> g[100007];
int a[100007];
ll dp[100007];///以u向下的单链最大权值
ll ans = -1e18;///初始化负无穷
 
///如果求任意子树的直径，要在这个基础上再加个f[u],表示以u为根的子树的最大直径
///从f[v],d1+d2+a[u]转移，表示子树的最大直径和过u的直径取最大值
int dfs(int u, int fa) {
    ll d1 = 0, d2 = 0;///子最长，子次长，因为可以不选所以初始为0
    dp[u] = a[u];///初始化
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        dp[u] = max(dp[u], a[u] + dp[v]);///更新过u单链最大权值
        if (dp[v] > d1) d2 = d1, d1 = dp[v];
        else if (dp[v] > d2) d2 = dp[v];
    }
    ans = max(ans, d1 + d2 + a[u]);
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i < n;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

方法二

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
vector<int> g[100007];
int a[100007];
ll dp[100007];///以u向下的单链最大权值
 
ll dfs(int u, int fa) {
    dp[u] = a[u];///过u初始化
    ll ans = a[u];///初始化单点，防止无孩子
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        ans = max(ans, dfs(v, u));///子树最大值（不一定过子节点）
        ans = max(ans, dp[u] + dp[v]);///尝试过u最大值 = u最长单链（u+子最长子链） + 子次长子链
        dp[u] = max(dp[u], a[u] + dp[v]);///更新过u单链最大权值，要在答案更新下面，不然会加两次同样的值
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i < n;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    cout << dfs(1, 0) << '\n';
    return 0;
}