NC16681 [NOIP2003]加分二叉树

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题目

题目描述

​ 设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

​ subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

​ 若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

​ （1）tree的最高加分

​ （2）tree的前序遍历

输入描述

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出描述

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

示例1

输入

5
5 7 1 2 10

输出

145
3 1 2 4 5

题解

知识点：DFS，树，区间dp。

因为给出的是中序遍历，因此一个区间可以作为一个树，两个区间加一个中间的点可以作为做左子树根节点和右子树，于是可以区间dp。

设 $dp[i][j]$ 为区间 $[i,j]$ 构成树后的最高分，有转移方程：

$$dp[i][j] = \max (1,dp[i][k-1])\cdot \max (1,dp[k+1][j]) + a[k],k \in [i,j]$$

当 $k = i \text{ or } j$ 时，表示的是空树，应该用 $1$ 代替。

可以边dp边记录某个树 $[i,j]$ 的父节点 $fa[i][j]$ ，因为 $k$ 本身是作为根节点划分区间。

最后dfs一下 $fa[1][n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^3)$

空间复杂度 $O(n^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
int a[37], fa[37][37];
ll dp[37][37];
 
void dfs(int l, int r) {
    if (l > r) return;
    cout << fa[l][r] << ' ';
    dfs(l, fa[l][r] - 1);
    dfs(fa[l][r] + 1, r);
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i], dp[i][i] = a[i], fa[i][i] = i;
    for (int l = 2;l <= n;l++) {
        for (int i = 1, j = l;j <= n;i++, j++) {
            for (int k = i;k <= j;k++) {
                ll t = max(1LL, dp[i][k - 1]) * max(1LL, dp[k + 1][j]) + a[k];
                if (dp[i][j] < t) {
                    dp[i][j] = t;
                    fa[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n] << '\n';
    dfs(1, n);
    return 0;
}