NC50500 凸多边形的划分

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题目

题目描述

给定一个具有N个顶点的凸多边形，将顶点从1至N标号，每个顶点的权值都是一个正整数。将这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，试求这些三角形顶点的权值乘积和至少为多少。

输入描述

输入第一行为顶点数N
第二行依次为顶点1至顶点N的权值。

输出描述

输出仅一行，为这些三角形顶点的权值乘积和的最小值。

示例1

输入

5
121 122 123 245 231

输出

12214884

备注

对于 \(100 \%\) 的数据，有 \(N \leq 50\) ，每个点权值小于 \(10^9\) 。

题解

知识点：区间dp。

第一眼是带环的区间dp，但仔细一想是不需要的。

设 \(dp[i][j]\) 为区间 \([i,j]\) 的点构成的多边形的最大权值。转移方程为：

\[dp[i][j] = \max(dp[i][k]+dp[k][j] + a[i]\cdot a[j] \cdot a[k],dp[i][j]) \]

表示为 \([i,k],[k,j]\) 与 \(i,j,k\) 构成的三角能合并成 \([i,j]\) 构成的多边形。

注意到如果答案是由 \([i,n,1,k],[k,i-1]\) 前者是跨越 \(n,1\) 的区间合成，那么一定被 \([1,k],[k,n]\) 这种情况包括了，所以不需要考虑环状结构。

注意会超 long long ，用 __int128 。

时间复杂度 \(O(n^3)\)

空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

__int128 a[57], dp[57][57];

template<class T>
inline void read(T &val) {
    T x = 0, f = 1;char c = getchar();
    while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-') f = -1;c = getchar(); }///整数符号
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);c = getchar(); }///挪位加数
    val = x * f;
}

template<class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) { putchar('-');x = -x; }
    if (x >= 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    read(n);
    for (int i = 1;i <= n;i++) read(a[i]);///不需要化环为链，因为只需要1和n连就已经全包括了
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        dp[i][i] = dp[i][i + 1] = 0;
    for (int l = 3;l <= n;l++) {
        for (int i = 1;i <= n - l + 1;i++) {
            int j = i + l - 1;
            for (int k = i;k < j;k++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + (__int128)a[i] * a[k] * a[j]);
        }
    }
    write(dp[1][n]);
    puts("");
    return 0;
}