NC50493 石子合并

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题目

题目描述

将n堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。
请编写一个程序，读入堆数n及每堆的石子数，并进行如下计算：

1. ​ 选择一种合并石子的方案，使得做n-1次合并得分总和最大。
2. ​ 选择一种合并石子的方案，使得做n-1次合并得分总和最小。

输入描述

输入第一行一个整数n，表示有n堆石子。
第二行n个整数，表示每堆石子的数量。

输出描述

第一行为合并得分总和最小值，
第二行为合并得分总和最大值。

示例1

输入

4
4 5 9 4

输出

43
54

备注

对于$100 \%$ 的数据，有 $1 \leq n \leq 200$ 。

题解

知识点：区间dp。

普通的石子合并用区间dp直接能做，但这里是环形的，有两种处理方式，比较简单的是复制一段接在后面，就可以做了。

如果是线性dp的环形处理可以做两次dp，一次是强制断开的情况，一次是强制链接的情况。

可以用前缀和优化求和。

时间复杂度 $O(n^3)$

空间复杂度 $O(n^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int sum[407], dp[407][407];///循环，端点开大一倍
 
int main() { 
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> sum[i], sum[i + n] = sum[i];
    for (int i = 1;i <= 2 * n;i++) sum[i] += sum[i - 1];
 
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = 1;i <= 2 * n;i++) dp[i][i] = 0;
    for (int l = 2;l <= n;l++) {///算到长度为n
        for (int i = 1;i <= 2 * n;i++) {///搞循环，因为分割区间可能到加长的区间，因此大于n的区间也要算
            int j = i + l - 1;
            for (int k = i;k < j;k++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
        }
    }
    int ans = ~(1 << 31);
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans = min(ans, dp[i][i + n - 1]);
    cout << ans << '\n';
 
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int l = 2;l <= n;l++) {
        for (int i = 1;i <= 2 * n;i++) {///搞循环
            int j = i + l - 1;
            for (int k = i;k < j;k++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
        }
    }
    ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}