NC16645 [NOIP2007]矩阵取数游戏

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题目

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij均为非负整数。游戏规则如下：
1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 * $2^i$，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；
4.游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入描述

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出描述

输出一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

示例1

输入

2 3
1 2 3
3 4 2

输出

82

说明

第1次：第1行取行首元素，第2行取行尾元素，本次得分为1 * 21 + 2 * 21 = 6
第2次：两行均取行首元素，本次得分为2 * 22 + 3 * 22 = 20

第3次：得分为3 * 23 + 4 * 23 = 56。
总得分为6 + 20 + 56 = 82

示例2

输入

1 4
4 5 0 5

输出

122

示例3

输入

2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67

输出

316994

备注

60%的数据满足：$1 ≤ n, m ≤ 30$ , 答案不超过 $10^{16}$
100%的数据满足：$1 ≤ n, m ≤ 80, 0 ≤ a_{ij} ≤ 1000$

题解

知识点：区间dp。

矩阵每行独立区间dp即可。但需要高精度或者 __int128 ，这里展示的是后者的用法，必须要快读快写输入，因为不支持普通输入输出。

时间复杂度 $O(nm^2)$

空间复杂度 $O(m^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
///快读
template<class T>
inline void read(T &val) {
    T x = 0, f = 1;char c = getchar();
    while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-') f = -1;c = getchar(); }///整数符号
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);c = getchar(); }///挪位加数
    val = x * f;
}
 
///快写
template<class T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) { putchar('-');x = -x; }
    if (x >= 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
 
int a[87][87];
__int128_t dp[87][87];
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    read(n), read(m);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= m;j++)
            read(a[i][j]);
    __int128_t ans = 0;
    for (int row = 1;row <= n;row++) {
        for (int i = 1;i <= m;i++) dp[i][i] = a[row][i] * ((__int128_t)1 << m);
        for (int l = 2;l <= m;l++) {
            for (int i = 1, j = l;j <= m;i++, j++) {
                dp[i][j] =
                    max(
                        dp[i + 1][j] + a[row][i] * ((__int128_t)1 << m - l + 1),
                        dp[i][j - 1] + a[row][j] * ((__int128_t)1 << m - l + 1)
                    );
            }
        }
        ans += dp[1][m];
    }
    write(ans);
    puts("");
    return 0;
}