NC13230 合并回文子串

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题目

题目描述

输入两个字符串A和B，合并成一个串C，属于A和B的字符在C中顺序保持不变。如"abc"和"xyz"可以被组合成"axbycz"或"abxcyz"等。
我们定义字符串的价值为其最长回文子串的长度（回文串表示从正反两边看完全一致的字符串，如"aba"和"xyyx"）。
需要求出所有可能的C中价值最大的字符串，输出这个最大价值即可

输入描述

第一行一个整数T(T ≤ 50)。
接下来2T行，每两行两个字符串分别代表A,B(|A|,|B| ≤ 50)，A,B的字符集为全体小写字母。

输出描述

对于每组数据输出一行一个整数表示价值最大的C的价值。

示例1

输入

2
aa
bb
a
aaaabcaa

输出

4
5

题解

知识点：区间dp。

一个字符串的最长回文子串需要一个区间dp即可，而且因为是串，那形成的回文串一定是整个区间，因此比起子序列记录长度，子串只需要记录区间可不可行即可。这道题是两个字符串，考虑二重区间dp。

设 $dp[i][j][u][v]$ 表示为$s_1$ 的区间 $[i,j]$ 和 $s_2$ 的区间 $[u,v]$ 是否能组成回文子串。有转移方程：

$$dp[i][j][u][v] |{=} \left \{ \begin{array}{l} dp[i+1][j-1][u][v] &,l_1 \geq 2 且 s_1[i] = s_1[j]\\ dp[i+1][j][u][v-1] &,l_1 \geq 1 且 l_2 \geq 1且s_1[i] = s_2[v]\\ dp[i][j-1][u+1][v] &,l_1 \geq 1 且 l_2 \geq 1且s_2[u] = s_1[j]\\ dp[i][j][u+1][v-1] &,l_2 \geq 1 且 s_2[u] = s_2[v]\\ \end{array} \right.$$

因为合并子序列后相对位置不变，端点一定还是端点，枚举可能出现的新端点即可，左右端点 $[left,right]$ 分别可以出现在 $[s_1,s_1],[s_1,s_2],[s_2,s_1],[s_2,s_2]$ 。

时间复杂度 $O(n^2m^2)$

空间复杂度 $O(n^2m^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
bool dp[52][52][52][52];
char s1[52], s2[52];
 
bool solve() {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    cin >> s1 + 1 >> s2 + 1;
    int n = strlen(s1 + 1);
    int m = strlen(s2 + 1);
    int ans = 0;
    for (int l1 = 0;l1 <= n;l1++) {
        for (int l2 = 0;l2 <= m;l2++) {
            for (int i = 1, j = l1;j <= n;i++, j++) {
                for (int u = 1, v = l2;v <= m;u++, v++) {
                    if (l1 + l2 <= 1) dp[i][j][u][v] = 1;///(0,0),(0,1),(1,0)的情况都是回文,
                    else {
                        if (l1 >= 2 && s1[i] == s1[j]) dp[i][j][u][v] |= dp[i + 1][j - 1][u][v];
                        if (l1 >= 1 && l2 >= 1 && s1[i] == s2[v]) dp[i][j][u][v] |= dp[i + 1][j][u][v - 1];
                        if (l1 >= 1 && l2 >= 1 && s2[u] == s1[j]) dp[i][j][u][v] |= dp[i][j - 1][u + 1][v];
                        if (l2 >= 2 && s2[u] == s2[v]) dp[i][j][u][v] |= dp[i][j][u + 1][v - 1];
                    }
                    if (dp[i][j][u][v]) ans = max(ans, l1 + l2);
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}