NC14699 队伍配置

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题目

题目描述

萌学姐在玩大型手游《futa go》，他现在准备进入作战环节，所以他准备安排自己的队伍。
队伍配置里，可供玩家选择的作战人物被称作“从者”，玩家可以对每个“从者”可以装备至多1件的“概念礼装”，玩家具有一个cost上限值。详细定义如下：
1、 每个从者和概念礼装都具有攻击值ATK。
2、 每个从者和概念礼装都会占据一定的cost值。
3、 每个从者和概念礼装只能上场一次，不能重复使用。
4、 概念礼装只能装备在从者上，不能单独存在。
5、 选择的从者和概念礼装的cost值之和不能超过玩家的cost上限值。
6、 最多可以选择5名从者（在cost值限制下）。
现在给出玩家仓库的每个从者和每件概念礼装的ATK值和cost值，问在满足定义的条件下，队伍可以凑出的最大ATK值。

输入描述

第1行输入三个整数n，m，d，代表玩家仓库的从者数量、概念礼装数量和cost上限值。
第2-n+1行，每行输入两个整数a1，b1，表示第i个从者的ATK值和cost值。
第n+2-n+m+1行，每行输入两个整数a2，b2，表示第i个概念礼装的ATK值和cost值。
数据保证：0<n,m≤300，25≤d≤138，1000≤a1≤15488，500≤a2≤2500，3≤b1,b2≤12

输出描述

输出一行，一个整数，代表可以凑出的最大ATK值。

示例1

输入

4 2 25
2001 5
2002 5
2003 5
4010 10
2004 10
2005 10

输出

10016

说明

派上前4名从者，最大ATK值=2001+2002+2003+4010=10016（cost总值为25=玩家cost上限）

题解

知识点：背包dp。

一眼看上去像分组背包，但其实不是，因为从者、礼装没有明确分组。接下来，定义 $a[i]$ 和 $ac[i]$ 为从者的攻击力和花费，$b[i]$ 和 $bc[i]$ 为礼装的攻击力和花费。

设 $dp[i][j][k]$ 为选了 $i$ 个从者，$j$ 个礼装，花费为 $k$ 的最大攻击力。注意是选了，不是考虑到，因此每次考虑要更新所有。先处理选从者的，但没选礼装的所有情况，因为从者没有选的限制，但选礼装必须是选了从者的情况下有。有转移方程：

$$dp[k][0][j] = \max(dp[k][0][j],dp[k-1][0][j-ac[i]] + a[i])$$

表示选 $k$ 个的状态可以从选 $k-1$ 的状态转移也可以不选，$k$ 是 $[1,5]$ 都要跑一遍，因为最多选 $5$ 个。

随后开始选礼装，有转移方程：

$$dp[k][u][j] = \max (dp[k][u][j],dp[k][u-1][j-bc[i]] +b[i])$$

表示在选 $k$ 个从者的情况下选 $u$ 个礼装可以从选 $k$ 个从者的情况下选 $u-1$ 个礼装转移也可以不选，$u\leq k$ 表示不能超过从者数量。

更新时，费用 $j$ 这维要倒序，因为实际上这个状态已经滚动了考虑到某个礼装/从者一维，所以实际上是考虑到一维、选从者一维、选礼装一维、费用一维的高维背包dp，类似的有二维费用背包。

初始化负无穷，$dp[0][0][0] = 0$ ，因为选择有严格数量限制，不能选空气。随后答案在 $dp[i][j][k]$ 的所有状态里面的最大值。

时间复杂度 $O(nd)$

空间复杂度 $O(d)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int a[307], ac[307], b[307], bc[307], dp[10][10][150];///表示选了i个从者，j个礼装，费用为k
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, d;
    cin >> n >> m >> d;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i] >> ac[i];
    for (int i = 1;i <= m;i++) cin >> b[i] >> bc[i];
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));///选从者的答案要严格保留
    dp[0][0][0] = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++)///考虑了第i个从者
        for (int j = d;j >= ac[i];j--)///费用为j
            for (int k = 1;k <= 5;k++)///选k个,一定放在费用下面，否则会重复选同一个
                dp[k][0][j] = max(dp[k][0][j], dp[k - 1][0][j - ac[i]] + a[i]);///取费用为j，选k个的最优解
    ///因为礼装的选择只取决于从者的人数和对应费用和atk无关，因此对于两个状态相同的组合选最优的对礼装选择无影响
    for (int i = 1;i <= m;i++)
        for (int j = d;j >= bc[i];j--)
            for (int k = 1;k <= 5;k++)
                for (int u = 1;u <= k;u++)
                    dp[k][u][j] = max(dp[k][u][j], dp[k][u - 1][j - bc[i]] + b[i]);
    int ans = 0;
    for (int i = 0;i <= 5;i++)
        for (int j = 0;j <= 5;j++)///可能一个礼装都选不了
            for (int k = 0;k <= d;k++)
                ans = max(ans, dp[i][j][k]);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}