NC210520 Min酱要旅行

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题目

题目描述

从前有个富帅叫做Min酱，他很喜欢出门旅行，每次出门旅行，他会准备很大一个包裹以及一大堆东西，然后尝试各种方案去塞满它。
然而每次出门前，Min酱都会有个小小的烦恼。众所周知，富帅是很讨妹子喜欢的，所以Min酱也是有大把大把的妹子，每次出门都会有一只妹子随行。然而这些妹子总是会非常排斥Min酱准备的众多东西中的一件（也许是因为这件东西是其它妹子送给Min酱的），这件东西Min酱是万万不敢带上的，否则的话……嘿嘿嘿。另外，妹子们嫌Min酱的包裹太丑了，会自带一个包裹去换掉Min酱的包裹。
Min酱是个控制欲很强的人，然而这样一来，Min酱就不知道可以用多少种方案去填充包裹了，所以Min酱很郁闷。
于是Min酱找到了聪明的你，希望你能帮助他解决这些问题。
另外，Min酱是个典型的懒人，他不希望每次带不同的妹子出去都麻烦你，所以他希望你能给出有 \(K_1..K_n\) 件物品，第 \(i\) 件不能带并且包裹大小为 \(1..M\) 的所有方案数。

输入描述

可能有多组数据。对于每一组数据：
第一行，两个整数 \(n,m\) ，分别表示物品数量和妹子带的包裹的最大容积。
第二行，\(n\) 个正整数，分别表示物品 \(K_i\) 的体积。

输出描述

对于每一组数据，输出一个 \(n \times m\) 的矩阵，第 \(i\) 行 \(j\) 列表示包裹容积为 \(j\) ，不能带 \(i\) 号物品时，装满包裹的方案总数。
为了美观起见，我们只保留方案数的个位。

示例1

输入

3 2
1 1 2

输出

11
11
21

备注

\(1\leq n,m \leq 2300，K_i \leq 1000\)

题解

知识点：背包dp，计数dp。

显然如果不加限制，一遍简单的计数背包dp就能得到所有体积的方案，设状态为 \(dp[i][j]\)。

但现在要输出不选 \(i\) 且体积为 \(j\) 的方案数，设其为 \(f[i][j]\)。当 \(j>v[i]\) ，答案 = 体积为 \(j\) 总方案数 - 选 \(i\) 且体积为 \(j\) 的方案数 = 体积为 \(j\) 总方案数 - 不选 \(i\) 后体积为 \(j-v[i]\) 的方案数；当 \(j\leq v[i]\) ，答案就是体积为 \(j\) 总方案数。因此有公式：

\[f[i][j] = \left \{ \begin{array}{l} dp[n][j] - f[i][j-v[i]] &,j >v[i]\\ dp[n][j] &,j\leq v[i] \end{array} \right. \]

所以 \(f[i][j]\) 可以递推。

时间复杂度 \(O(nm)\)

空间复杂度 \(O(nm)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int k[2307], dp[2307], f[2307];///dp纯0/1背包;不选i时，f[j]表示不选i时体积为j时的方案

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> k[i];
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = m;j >= k[i];j--)
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - k[i]]) % 10;
    /*
        f[j] = 不选i时体积为j的方案
             = 体积为j时总方案 - 选i时体积为j的方案
             = 体积为j时总方案 - 不选i时体积为j - k[i]的方案
             = dp[j] - f[j-k[i]]
        当j<k[i]时，dp[j] = f[j] 因为本来就没得选
    */
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 0;j <= m;j++) {///每次都会覆盖，不需要归零
            if (j < k[i]) f[j] = dp[j];
            else f[j] = (dp[j] - f[j - k[i]] + 10) % 10;
        }
        for (int j = 1;j <= m;j++) cout << f[j];
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}