NC16666 [NOIP2006]开心的金明

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题目

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：
v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中*为乘号）
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入描述

输入第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m（其中N表示总钱数，m为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v p（其中v表示该物品的价格，p表示该物品的重要度）

输出描述

输出一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<100000000）

示例1

输入

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

输出

3900

备注

N < 30000，m < 25，v ≤ 10000， 1 ≤ p ≤ 5

题解

知识点：背包dp。

传统的背包dp。设 \(dp[i][j]\) 为考虑到第 \(i\) 个物品，用了 \(j\) 的体积（题意如果是至多，那这里就是至多，区别在于至多可以初始化 \(0\) ，而严格 \(j\) 是需要初始化负无穷）的最大值。显然有转移方程：

\[dp[i][j] = \max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]) \]

滚动数组压缩一下，注意要倒序遍历防止同一件物品复用，因为这是01背包。

时间复杂度 \(O(nm)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int dp[30007], v[30], w[30];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1;i <= m;i++)
        for (int j = n;j >= v[i];j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + v[i] * w[i]);
    cout << dp[n] << '\n';
    return 0;
}