NC207781 迁徙过程中的河流

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题目描述

牛市的幸存的先民在流星雨之后就忍痛离开了这片土地，选择迁徙，在迁徙的途中，他们需要渡过一条河。因为牛市的树木在流星雨中被严重破坏，所以他们只造出了一艘小船，船太小了，一次只能乘坐两人。
牛市的先民们每个人划船的速度都不尽相同，所以每个人都有一个渡河时间T，为了保证船的平衡，当穿上有两个人的时候，需要他们按照慢的那个人的速度划船，也就是说船到达对岸的时间等于船上渡河时间长的那个人的时间。
现在已知N个人的渡河时间T，请问最少要花费多少时间，才能使所有人都过河。

输入描述

输入文件第一行为先民的人数 $N$ $(N\leq 100000)$ ，以下有N行，每行一个整数为每个人的渡河时间。

输出描述

输出文件仅包含一个数，表示所有人都渡过河的最少渡河时间。

示例1

输入

4
5
7
11
16

输出

42

说明

首先1，2先到河对岸花费7，然后1回来花费5，3，4到河对岸花费16，2回来花费7，1，2再到河对岸花费7

题解

知识点：线性dp，贪心。

给出一个贪心结论，因为时间短的和时间长的一起无法发挥时间短的收益，因此要么用时间最短的人作为运输媒介来回跑（这因为最短的人作媒介一定使得来回运输一个人的成本最低），要么两个时长相近的人一起。显然，先从小到大排序，方便处理。

设 $dp[i]$ 表示运到第 $i$ 个人的最短时间。先让最短时间的两人过去作为运输媒介，$dp[1] = t[1],dp[2] = t[2]$ 。第一种方法：先用 $t[1]$ 让$1$ 号回去，用 $t[i]$ 接 $i$ 号过去，共 $t[1] + t[i]$ ；第二种方法：先用 $t[1]$ 让 $1$ 回去，再用 $t[i]$ 让 $i-1$ 和 $i$ 过去，再用 $t[2]$ 让 $2$ 回去，用 $t[2]$ 让 $1$ 和 $2$ 过去，共 $t[1] + t[i] + 2t[2]$ 。于是有转移方程：

$$dp[i] = \min (dp[i-1]+t[1]+t[i],dp[i-2]+t[1]+t[i]+2t[2])$$

时间复杂度 $O(n\log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int t[100007], dp[100007];///表示运了i个人
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> t[i];
    sort(t + 1, t + n + 1);///从小到大运人
    dp[1] = t[1];
    dp[2] = t[2];
    for (int i = 3;i <= n;i++) dp[i] = min(dp[i - 1] + t[1] + t[i], dp[i - 2] + t[1] + t[i] + 2 * t[2]);
    ///先让最小的两人过去，用这两个人运。因为能坐两个人，所以可以考虑两种情况
    ///1回来接i过去；1回来i-1和i过去，2回来接1回去
    cout << dp[n] << '\n';
    return 0;
}