NC20650 可爱の星空

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题目

题目描述

“当你看向她时，有细碎星辰落入你的眼睛，真好。”——小可爱

在一个繁星闪烁的夜晚，卿念和清宇一起躺在郊外的草地上，仰望星空。

星语心愿，他们，想把这片星空的星星，连成一棵漂亮的树，将这美好的景色记录下来。

现在，天上共有n颗星星，编号分别为1,2.....n，一开始任何两个点之间都没有边连接。

之后，他们两个想在在(u,v)之间连无向边，需要付出|u联通块大小-v联通块大小|的代价。

他们两个想用最少的代价来使这n个点联通，所以他们想知道最小代价是多少。

(多组数据

输入描述

第一行一个正整数，表示数据组数T

接下来T行每行一个正整数，表示询问的n

输出描述

T行，每行一个数表示答案

示例1

输入

1
5

输出

2

说明

1,2....5五个点，连边顺序为(1,2),(3,4),(1,5),(5,3),代价为0,0,1,1，总代价为2，是n=5的时候最优答案。

虽然(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)也可以，但是代价为0,1,2,3，总代价为6，比2大。

备注

对于20%的数据，T<=2,n<=10

对于40%的数据，T<=10,n<=1000

对于60%的数据，T<=100000,n<=100000

对于另外40%的数据，T=1,n<=1000000000000

题解

知识点：递归。

一个贪心结论，合并成大小为 \(x\) 的连通子图时应选两个大小最接近的连通子图，也就是各自占一半 \(x\) 。因此偶数时候应当是两个 \(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor\) ，奇数时候应当是 \(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor\) 和 \(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor + 1\) 。

因此，数据小可以通过记忆化搜索递归求解，但这里数据很大，没法记忆化。

时间复杂度 \(O(T\log n)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;


ll f(ll x) {
    if (x == 1 || x == 2) return 0;
    if (x & 1) return f(x / 2) + f(x / 2 + 1) + 1;
    else return 2 * f(x / 2);
}

bool solve() {
    ll n;
    cin >> n;
    cout << f(n) << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}