NC24911 数独挑战

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题目

题目描述

数独是一种填数字游戏，英文名叫 Sudoku，起源于瑞士，上世纪 70 年代由美国一家数学逻辑游戏杂志首先发表，名为 Number Place，后在日本流行，1984 年将 Sudoku 命名为数独，即 “独立的数字” 的缩写，意思是 “在每一格只有一个数字”。

2004 年，曾任中国香港高等法院法官的高乐德 (Wayne Gould) 把这款游戏带到英国，成为英国流行的数学智力拼图游戏。

玩家需要根据 \(9 \times 9\) 盘面上的已知数字，推理出所有剩余位置的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线九宫格内的数字包含有 1-9 的数字，且不重复。

现在给你一个数独，请你解答出来。每个数独保证有且只有一个解。

输入描述

输入仅一组数据，共 9 行 9 列，表示初始数独（其中 0 表示数独中的空位）。

输出描述

输出共 9 行 9 列，表示数独的解。

注意⾏末没有空格。

示例1

输入

5 3 0 0 7 0 0 0 0
6 0 0 1 9 5 0 0 0
0 9 8 0 0 0 0 6 0
8 0 0 0 6 0 0 0 3
4 0 0 8 0 3 0 0 1
7 0 0 0 2 0 0 0 6
0 6 0 0 0 0 2 8 0
0 0 0 4 1 9 0 0 5
0 0 0 0 8 0 0 7 9

输出

5 3 4 6 7 8 9 1 2
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
8 5 9 7 6 1 4 2 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

题解

知识点：DFS。

可行性一般用dfs寻找一次方案，当然深度太深的要用bfs。

用 \(r[i][j]\) 表示第 \(i\) 行的数字 \(j\) 是否被用过，\(c[i][j]\) 表示第 \(i\) 列的数字 \(j\) 是否被用过，\(cube[i][j]\) 表示第 \(i\) 个小方块的数字 \(j\) 是否被用过。

代码里我用了状态压缩，把 \(1\) - \(9\) 的情况压缩进一个 int 。并且我用一个 \(in+j\) 一个数字表示 \((i,j)\) ，将二维压缩成一维，方便存储使用。

时间复杂度 \(O(?)\)

空间复杂度 \(O(nm)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 9;
int dt[N][N];
int b[N * N];
int cnt;
int r[N], c[N], cube[N];


void dfs(int step = 0) {
    if (step == cnt) {
        for (int i = 0;i < N;i++) {
            for (int j = 0;j < N;j++) {
                cout << dt[i][j] << ' ';
            }
            cout << '\n';
        }
        return;
    }
    int x = b[step] / N, y = b[step] % N;
    for (int i = 1;i <= N;i++) {
        if (((r[x] >> i) & 1) || ((c[y] >> i) & 1) || ((cube[x / 3 * 3 + y / 3] >> i) & 1)) continue;
        r[x] |= 1 << i;
        c[y] |= 1 << i;
        cube[x / 3 * 3 + y / 3] |= 1 << i;
        dt[x][y] = i;
        dfs(step + 1);
        r[x] &= ~(1 << i);
        c[y] &= ~(1 << i);
        cube[x / 3 * 3 + y / 3] &= ~(1 << i);
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    for (int i = 0;i < N;i++) {
        for (int j = 0;j < N;j++) {
            cin >> dt[i][j];
            if (!dt[i][j]) b[cnt++] = i * N + j;
            r[i] |= 1 << dt[i][j];
            c[j] |= 1 << dt[i][j];
            cube[i / 3 * 3 + j / 3] |= 1 << dt[i][j];
        }
    }
    dfs();
    return 0;
}