NC204418 新集合

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题目

题目描述

集合 $s$ 中有整数 $1$ 到 $n$ ，牛牛想从中挑几个整数组成一个新的集合。

现在牛妹给牛牛加了 $m$ 个限制 ，每个限制包含两个整数 $u$ 和 $v$ ( $u\neq v$)，且 $u$ 和 $v$ 不能同时出现在新集合中 。

请问牛牛能组成的新集合多少种。

可以选 0 个数。

返回一个整数，即新集合的种类数。

示例1

输入

3,2,[(1,2),(2,3)]

返回值

5

说明

当 n = 3 时，共有 8 个子集，当加上限制 (1, 2), (2, 3) 后，合法的自己有 $[], [1], [2], [3], [1, 3]$ 共 5 个

备注

第一个参数为 $n$ 。第二个参数为 $m$ 。第三个参数为 $m$ 对 (u, v) 。$1 < n \leq 20 \quad 1\leq m \leq 400\quad 1 \leq u, v\leq n$

题解

知识点：DFS。

一道计数题，用dfs比较合适。

有两种枚举方式：

1. dfs的第 $i$ 层枚举集合中第 $i$ 个放的数字，如果能放立刻加一，为了保证不重复，我们每次都放比上一次大的数。

2. dfs第 $i$ 层枚举第 $i$ 个数字”放“和“不放“进集合，每次能放的时候选择放可以加一，选择不放则不加。

两者dfs的区别在于，前者每次都放一个新的数字，一定能确定一个新的状态，没有搜索节点是被浪费的；后者因为只有对某个数字选择”放“的时候才会确定一个新状态，而选择“不放”则继承上一层状态不能确定一个新的状态，需要枚举完 $n$ 个数字才能遍历所有可能状态。显然，前者的复杂度更优秀。

时间复杂度 $O(2^n)$

空间复杂度 $O(n + m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
struct Point {
    int x, y;
};
 
int cnt;
bool vis[27];
void dfs(int n, vector<Point> &limit, int pos = 0) {
    for (int i = pos + 1;i <= n;i++) {
        bool ok = true;
        for (int j = 0;j < limit.size();j++) {
            if (limit[j].x == i && vis[limit[j].y]) ok &= false;
            if (limit[j].y == i && vis[limit[j].x]) ok &= false;
        }
        if (ok) {
            cnt++;
            vis[i] = 1;
            dfs(n, limit, i);
            vis[i] = 0;
        }
    }
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<Point> limit;
    for (int i = 0;i < m;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        limit.push_back({ u,v });
    }
    dfs(n, limit);
    cout << cnt + 1 << '\n';
    return 0;
}