NC20185 [JSOI2010]缓存交换

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题目

题目描述

在计算机中，CPU只能和高速缓存Cache直接交换数据。当所需的内存单元不在Cache中时，则需要从主存里把数据调入Cache。此时，如果Cache容量已满，则必须先从中删除一个。

例如，当前Cache容量为3，且已经有编号为10和20的主存单元。 此时，CPU访问编号为10的主存单元，Cache命中。 接着，CPU访问编号为21的主存单元，那么只需将该主存单元移入Cache中，造成一次缺失（Cache Miss）。 接着，CPU访问编号为31的主存单元，则必须从Cache中换出一块，才能将编号为31的主存单元移入Cache，假设我们移出了编号为10的主存单元。 接着，CPU再次访问编号为10的主存单元，则又引起了一次缺失。

我们看到，如果在上一次删除时，删除其他的单元，则可以避免本次访问的缺失。 在现代计算机中，往往采用LRU(最近最少使用)的算法来进行Cache调度——可是，从上一个例子就能看出，这并不是最优的算法。

对于一个固定容量的空Cache和连续的若干主存访问请求，聪聪想知道如何在每次Cache缺失时换出正确的主存单元，以达到最少的Cache缺失次数。

输入描述

输入文件第一行包含两个整数N和M(1 ≤ M ≤ N ≤ 100,000)，分别代表了主存访问的次数和Cache的容量。
第二行包含了N个空格分开的正整数，按访问请求先后顺序给出了每个主存块的编号(不超过1,000,000,000)。

输出描述

输出一行，为Cache缺失次数的最小值。

示例1

输入

6 2
1 2 3 1 2 3

输出

4

题解

知识点：贪心，优先队列。

这是一道典型的最佳页面置换(OPT)算法题。OPT算法描述的是，在内存有限的情况下，如果每次缺页把内存中下一次出现最晚的页面置换掉，会到达缺页次数的理论最小值。看具体证明。

因此，我们要知道内存中最晚出现的单元，那就必须先知道对于队列中的每个内存下一个出现的位置。所以从右到左遍历，用 $last[i]$ 维护编号为 $i$ 的内存单元最新出现的位置，于是用 $nxt[i]$ 维护第 $i$ 个请求单元的下一个出现位置。在第 $i$ 个位置遇到编号为 $a[i]$ 的内存单元，先给 $nxt[i]$ 赋值 $last[a[i]]$ ，再更新 $last[a[i]]$ ，就可以得到队列中的每个内存下一个出现的位置。

然后对内存中的元素用大顶堆维护，按最晚出现时间从大到小排序，如果内存满了取堆顶即可。

这里有个小细节，因为遇到了内存中已有的元素，虽然不需要弹出堆顶，但是还是要找到这个元素然后更新其最晚出现时间，这并不可以用堆维护。但注意到如果遇到了已有元素，那这个元素一定是最早出现的，应该在堆底，那现在只要把附带新时间信息的同一个单元放入堆中即可，那么因为内存大小不变但是堆里多了个元素其一定在堆底上面，所以堆底自然就排除在外了。但要注意的是，这样就不能用堆的真实大小当作内存已有的元素个数了，需要额外用一个变量保存现在内存中元素的大小。

时间复杂度 $O(n \log n)$

空间复杂度 $O(n + m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int a[100007], nxt[100007];
unordered_map<int, int> last, vis;
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = n - 1;i >= 0;i--) {///右侧第一次出现位置(>=1)
        if (last.count(a[i])) nxt[i] = last[a[i]];
        else nxt[i] = 2e9;
        last[a[i]] = i;
        vis[a[i]] = 0;
    }
    int cnt = 0;///缺页次数
    priority_queue<pair<int, int>> pq;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        if (!vis[a[i]]) {
            if (cnt >= m) vis[pq.top().second] = 0, pq.pop();///之前缺页次数大于等于m说明内存满了
            cnt++;///缺页加一
            vis[a[i]] = 1;
        }
        pq.push({ nxt[i],a[i] });
        ///直接持续插入，不需要考虑元素是否已在内存中，但不能用队列长度代表已使用内存长度，需要额外记录。
        ///如果不是同一种元素，则之前已经置换过了，现在新插入。
        ///如果是同一种元素，不必去找到这个元素修改其下一次出现位置，直接插入即可，理由如下。
        ///如果是同一种，那么新元素一定排在旧元素之前。并且现在是最先遇到这个元素，所以旧元素的下一次出现位置一定是内存里最小，在最后。
        ///而内存长度是固定的，后面插入的元素一定都在旧元素之前，旧元素直接出内存范围了，等价于把旧元素更新成新元素。
    }
    cout << cnt << '\n';
    return 0;
}