NC50439 tokitsukaze and Soldier

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题目

题目描述

在一个游戏中，tokitsukaze需要在n个士兵中选出一些士兵组成一个团去打副本。
第i个士兵的战力为v[i]，团的战力是团内所有士兵的战力之和。
但是这些士兵有特殊的要求：如果选了第i个士兵，这个士兵希望团的人数不超过s[i]。(如果不选第i个士兵，就没有这个限制。)
tokitsukaze想知道，团的战力最大为多少。

输入描述

第一行包含一个正整数 $n(1≤n≤10^5)$ 。
接下来 $n$ 行，每行包括 $2$ 个正整数 $v,s(1≤v≤10^9,1≤s≤n)$ 。

输出描述

输出一个正整数，表示团的最大战力。

示例1

输入

2
1 2
2 2

输出

3

示例2

输入

3
1 3
2 3
100 1

输出

100

题解

知识点：贪心，优先队列。

这是一道典型的后悔贪心。

根据经验，后悔贪心一般具有三个因素：限制，花费和收益，其中花费和收益必定有一个是常量。比如这道题花费就是常量每次加入一个人，人数作为花费只增加 $1$ ；而有的题则是收益是常量，比如建筑抢修，收益是抢修建筑数量每次只增加 $1$ 。背包问题同样也有这三个因素，但其不同的是，限制容积是个常量，但花费和收益都是变量，因此无法使用后悔贪心。但鄙人水平有限，具体无法证明，只是经验之谈。

后悔贪心总体思路：把对选项数量的限制从严到松开放，则可选项会逐渐增多，并且原先选中的扔掉不会影响限制。这里的可选人数的限制是人数限制，由人数限制的最小值决定，人数限制越小可选的人越多，故缩小人数限制。

一开始不会踢人，直到人数与最小值缩小到相等开始踢人。此时缩小最小值，可选的人数变多，并且原来选中的人的限制人数并不影响最小值。考虑加入新人后，踢出战斗力最小的直到满足人数限制，此时就是当前人数限制下的最优解，这里是维护动态数组有序性，用堆处理。有可能会踢掉刚刚加进来的，不影响后面过程，因为后面限制人数只会比现在更小。最后得到了所有人数情况下的最优解，答案取最大值即可。

时间复杂度 $O(n \log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
struct node {
    int v, s;
}a[100007];
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        cin >> a[i].v >> a[i].s;
    }
    sort(a, a + n, [&](node a, node b) {return a.s > b.s;});///按人数限制排序
    ///后悔贪心总体思路：把对选项数量的限制从严到松开放，则可选项会逐渐增多，并且原先选中的扔掉不会影响限制。
    ///这里的可选人数的限制是人数限制，由人数限制的最小值决定，人数限制越小可选的人越多，故缩小人数限制。
    ///一开始不会踢人，直到人数与最小值缩小到相等开始踢人。
    ///此时缩小最小值，可选的人数变多，并且原来选中的人的限制人数并不影响最小值。
    ///考虑加入新人后，踢出战斗力最小的直到满足人数限制，此时就是当前人数限制下的最优解。这里是维护动态数组有序性，用堆处理。
    ///有可能会踢掉刚刚加进来的，不影响后面过程，因为后面限制人数只会比现在更小。
    ///最后得到了所有人数情况下的最优解，答案取最大值即可。
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq;
    ll ans = 0, sum = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        pq.push(a[i].v);
        sum += a[i].v;
        while (pq.size() > a[i].s) sum -= pq.top(), pq.pop();
        ans = max(ans, sum);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}