NC14662 小咪买东西

题目

题目描述

小咪是一个土豪手办狂魔，这次他去了一家店，发现了好多好多（ $n$ 个）手办，但他是一个很怪的人，每次只想买 $k$ 个手办，而且他要让他花的每一分钱都物超所值，即：买下来的东西的总价值/总花费= $max$ 。请你来看看，他会买哪些东西吧。

输入描述

多组数据。
第一行一个整数 $T$，为数据组数。
接下来有 $T$ 组数据。
对于每组数据，第一行两个正整数 $n$ ，$k$ ，如题。
接下来 $n$ 行，每行有两个正整数 $c_i$ ，$v_i$ 。分别为手办的花费和它对于小咪的价值。

输出描述

对于每组数据，输出一个数，即能得到的总价值/总花费的最大值。精确至整数。

示例1

输入

1
5 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6

输出

2

备注

$1≤T≤10$
$1≤n≤10^4$
$1≤k≤n$
$1≤c_i,v_i≤10^4$

题解

知识点：01分数规划。

01分数规划的模板题。注意到，小于最优解的答案一定有一种方案大于等于它，大于最优解的答案不存在方案可行，符合用二分答案求解的要求（唯一零点，单调性）。我们先确定一个答案 $mid$ ，若 $mid$ 小于等于最优答案，则存在方案满足如下公式：

$$\begin{aligned} \frac{\sum v_i}{\sum c_i} &\geq mid\\ \sum v_i &\geq mid \sum c_i\\ \sum (v_i - mid\cdot c_i) &\geq 0 \end{aligned}$$

每次检验把 $v_i - mid \cdot c_i$ 从大到小排序，选前 $k$ 大加和判断 $\sum (v_i-mid\cdot c_i) \geq 0$ ，若满足则小于等于答案，否则大于答案。

时间复杂度 $O(n \log n +k)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
int n, k;
int c[10007], v[10007], cv[10007];
 
bool check(int mid) {
    for (int i = 0;i < n;i++) cv[i] = v[i] - mid * c[i];
    sort(cv, cv + n, [&](int a, int b) {return a > b;});
    long long sum = 0;
    for (int i = 0;i < k;i++) sum += cv[i];
    return sum >= 0;
}
 
bool solve() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0;i < n;i++) cin >> c[i] >> v[i];
    int l = 0, r = 1e4;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << r << '\n';
    return true;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}