NC20276 [SCOI2010]传送带

题目

题目描述

在一个2维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段AB和线段CD。lxhgww在AB上的移动速度为P，在CD上的移动速度为Q，在平面上的移动速度R。现在lxhgww想从A点走到D点，他想知道最少需要走多长时间

输入描述

输入数据第一行是4个整数，表示A和B的坐标，分别为Ax，Ay，Bx，By
第二行是4个整数，表示C和D的坐标，分别为Cx，Cy，Dx，Dy
第三行是3个整数，分别是P，Q，R

输出描述

输出数据为一行，表示lxhgww从A点走到D点的最短时间，保留到小数点后2位

示例1

输入

0 0 0 100
100 0 100 100
2 2 1

输出

136.60

备注

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le A_x,A_y,B_x,B_y,C_x,C_y,D_x,D_y\le10^3\) 。

题解

知识点：三分，计算几何。

关于时间计算有两个变量，一个是在 \(AB\) 上的终点 \(E\)，一个是 \(CD\) 上的起点 \(F\) ，则总时长为 \(\frac{|AE|}{P} + \frac{|EF|}{R} + \frac{|FD|}{Q}\) 。

先固定 \(E\) ，计算固定 \(E\) 后最短时间，此时总时间关于 \(F\) 是单谷函数，所以可以三分 \(F\) 确定在 \(E\) 固定的情况下时间最短的 \(F\) ，然后就能得到某个 \(E\) 处的最短时间。而若对于每个 \(E\) 都取最短时间作为总a时间，则总时间关于 \(E\) 的函数也是一个单谷函数，所以可以三分 \(E\) ，求出使得总时间最短的点 \(E\) 。于是一个二重三分就能解决问题，里面的确定 \(F\) 得到每个 \(E\) 的最短时间，外面的确定求出使得总时间最短的点 \(E\) 。

实际上，总时长关于 \(E\) 和 \(F\) 的多元函数只有一个最小值，而对每个 \(E\) 都取最小值得到的总时长关于 \(E\) 的函数是一定过最小点的曲线，因此对 \(E\) 三分就能得到最小值。

细节上用参数方程来实现在直线上三分，用两点距离作为误差判断条件。

坑点：速度和右端点变量名重了，会炸qwq。

时间复杂度 \(O(1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double esp = 1e-3;

struct Point {
    double x, y;
}A, B, C, D;
double P, Q, R;//!R 和 r不要搞混了,被坑死了

double dist(Point a, Point b) {
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

Point Fx1(double t) {
    return { (B.x - A.x) * t + A.x,(B.y - A.y) * t + A.y };
}

Point Fx2(double t) {
    return { (D.x - C.x) * t + C.x,(D.y - C.y) * t + C.y };
}

double calc(Point E) {
    double ans = dist(A, E) / P;
    double l = 0, r = 1;
    while (dist(Fx2(l), Fx2(r)) >= esp) {
        double mid1 = l + (r - l) / 3;
        double mid2 = r - (r - l) / 3;
        Point F1 = Fx2(mid1);
        Point F2 = Fx2(mid2);
        if (dist(E, F1) / R + dist(F1, D) / Q >= dist(E, F2) / R + dist(F2, D) / Q) l = mid1;
        else r = mid2;
    }
    Point F = Fx2(l);
    ans += dist(E, F) / R + dist(F, D) / Q;
    return ans;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> A.x >> A.y >> B.x >> B.y;
    cin >> C.x >> C.y >> D.x >> D.y;
    cin >> P >> Q >> R;

    double l = 0, r = 1;
    while (dist(Fx1(l), Fx1(r)) >= esp) {
        double mid1 = l + (r - l) / 3;
        double mid2 = r - (r - l) / 3;
        Point E1 = Fx1(mid1);
        Point E2 = Fx1(mid2);
        if (calc(E1) >= calc(E2)) l = mid1;
        else r = mid2;
    }
    Point E = Fx1(l);
    cout << fixed << setprecision(2) << calc(E) << '\n';
    return 0;
}