NC16597 [NOIP2011]聪明的质监员

题目

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1 、给定$m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；

2 、选出一个参数 $W$；

3 、对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum\limits_{i=1}^m y_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

样例输出 #1

10

提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5 ,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$。

【数据范围】

对于 $10%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤10$；

对于 $30%$的数据，有 $1 ≤n ,m≤500$ ；

对于 $50%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤10,000$ ；

对于 $100\%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤200,000$，$0 < w_i,v_i≤10^6$，$0 < s≤10^{12}$，$1 ≤l_i ≤r_i ≤n$ 。

题解

知识点：二分。

由 $$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$$ ，发现 $y_i$ 随 $W$ 增大而减小，所以 $S-Y$ 随 $W$ 增大而增大，而答案就在 $S-Y$ 的零点附近，可以二分 $W$ ，得到最优的 $W$ 来求得最优的 $S-Y$。由于答案并非严格零点，因此最终需要对零点两侧都要计算一遍取最合适的值。

然后，预处理出 $[w_i \ge W]$ 的前缀和 $cnt[i]$ 与 $[w_i \ge W]v_i$ 的前缀和 $vsum[i]$ ，能优化复杂度。

于是有 $y_i=(cnt[r_i] - cnt[l_i-1]) \times (vsum[r_i] - vsum[l_i-1])$ ，得到 $Y$ 返回 $S-Y$ 的正负情况。

时间复杂度 $O(n+m)$

空间复杂度 $O(n+m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
int n, m;
ll s;
int w[200007], v[200007];
ll cnt[200007], vsum[200007];
ll ans = ~(1LL << 63);
 
struct area {
    int l, r;
}a[200007];
 
ll check(int mid) {
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        cnt[i] = cnt[i - 1] + (w[i] >= mid);
        vsum[i] = vsum[i - 1] + (w[i] >= mid) * v[i];
    }
    ll y = 0;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        y += (cnt[a[i].r] - cnt[a[i].l - 1]) * (vsum[a[i].r] - vsum[a[i].l - 1]);
    }
    ans = min(ans, abs(s - y));///记录最小值，收敛点附近两个点的值刚好能被mid经过
    return s - y >= 0;
    /* check(mid)代表W=mid的s-y 是否>= 0
    若是，则W需要变小；若否，则W需要变大
    Y随W增大而减少, 但增量未知，而我们要求的是|s-y|而非W, 所以需要记录收敛点（变号点）左右两点的最小值 */
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
 
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> w[i] >> v[i];
    for (int i = 1;i <= m;i++) cin >> a[i].l >> a[i].r;
 
    int l = 1, r = 1e6;
    while (l <= r) { ///二分W，因为Y(W)单调减，找到s-y的零点附近即可
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}