NC16564 [NOIP2012]借教室

题目

题目描述

​ 在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

​ 面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

​ 我们需要处理接下来 $n$ 天的借教室信息，其中第 $i$ 天学校有 $r_i$ 个教室可供租借。共有 $m$ 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 $d_j, s_j, t_j$，表示某租借者需要从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天租借教室（包括第 $s_j$ 天和第 $t_j$ 天），每天需要租借 $d_j$ 个教室。

​ 我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 $d_j$ 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

​ 借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天中有至少一天剩余的教室数量不足 $d_j$ 个。

​ 现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

输入描述

第一行包含两个正整数 $n, m$ ，表示天数和订单的数量。第二行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数为 $r_i$ ，表示第i天可用于租借的教室数量。接下来有 $m$ 行，每行包含三个正整数 $d_j, s_j, t_j$ ，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 $1$ 开始的整数编号。

输出描述

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 $0$ 。否则（订单无法完全满足）输出两行，第一行输出一个负整数 $-1$ ，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

示例1

输入

4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4

输出

-1
2

说明

第 1 份订单满足后，4 天剩余的教室数分别为0，3，2，3。
第 2 份订单要求第2 天到第4 天每天提供3 个教室，而第3 天剩余的教室数为2，因此无法满足。分配停止，通知第2个申请人修改订单。

备注

对于 $10\%$ 的数据，有 $1≤n,m≤10$；

对于 $30\%$ 的数据，有 $1≤n,m≤1000$ ；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1≤n,m≤10^5$；

对于 $100\%$ 的数据，有 $1≤n, m≤10^6, 0≤r_i, d_j≤10^9, 1≤s_j≤t_j≤ n$ 。

题解

知识点：二分。

注意到答案具有单调性，答案订单以及之后一定因为答案订单导致某天超标完不成，答案订单之前一定完成，于是二分答案。

对答案以及之前的订单累加每天的使用房间数，这个过程先用差分标记，之后一次加完。如果有某天超过数量的房间，就说明包括到的订单中一定有一个超标了，否则就没包括答案订单。

每次变化差分区间只变化一部分，因此记录变化部分即可，能优化。

时间复杂度 $O(n \log m)$

空间复杂度 $O(n+m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int r[1000007], d[1000007], s[1000007], t[1000007];
int diff[1000007];
int n, m, midpre;
 
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;char c = getchar();
    while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-')f = -1;c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar(); }
    return x * f;
}
 
bool check(int mid) {
    /* for (int i = 1;i <= n;i++) diff[i] = 0;
    for (int i = 1;i <= mid;i++) {
        diff[s[i]] += d[i];
        diff[t[i] + 1] -= d[i];
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        sum += diff[i];
        if (sum > r[i]) return 0;
    }
    return 1; */
 
    if (mid > midpre) {
        for (int i = midpre + 1;i <= mid;i++) {
            diff[s[i]] += d[i];
            diff[t[i] + 1] -= d[i];
        }
    }
    else {
        for (int i = midpre;i >= mid + 1;i--) {
            diff[s[i]] -= d[i];
            diff[t[i] + 1] += d[i];
        }
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        sum += diff[i];
        if (sum > r[i]) return 0;
    }
    return 1;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    n = read();
    m = read();
    for (int i = 1;i <= n;i++) r[i] = read();
    for (int i = 1;i <= m;i++) d[i] = read(), s[i] = read(), t[i] = read();
 
    int l = 1, r = m;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
        midpre = mid;
    }
    if (l == m + 1) cout << 0 << '\n';
    else cout << -1 << '\n' << l << '\n';
    return 0;
}