NC14380 位数差

题目

题目描述

给一个数组 ${a}$ ，定义 $h(a,b)$ 为在十进制下 $a + b$ 与 $a$ 的位数差，求 $\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} h(a_i,a_j)$，$0$ 的位数为 $1$ 。

输入描述

第一行读入一个正整数 $n (1 <= n <= 10^5)$。第二行读入 $n$ 个非负整数，第 $i$ 个表示 $a[i] (0 <= a[i] <= 10^8)$ 。

输出描述

一行表示答案。

示例1

输入

10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

输出

20

题解

知识点：二分，数学。

我们用 $bit(a)$ 表示 $a$ 的十进制位数，则有：

$$\begin{align*} \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} h(a_i,a_j) &= \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} bit(a_i+a_j) - bit(a_i)\\ &=\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} bit(a_i+a_j) - \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n}bit(a_i)\\ &=\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} bit(a_i+a_j) - \displaystyle\sum_{1\leq i \leq n}(n-i)bit(a_i)\\ &=\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} bit(a_i+a_j) - \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n}(n-i)bit(a_i)\\ \end{align*}$$

其中，$- \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n}(n-i)bit(a_i)$ 可以在输入时候处理完。

而 $\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} bit(a_i+a_j)$ 与 $i$ 和 $j$ 顺序可以互换，因此该式与序列的排列顺序无关。所以从小到大排序，对每一个数查找某一结果的区间，由于选择比 $a_i$ 小的数与 $a_i$ 配对答案只可能是 $0$ 和 $1$ 而选择大的数会出现 $0$ 到 $9$ ，而选择一种即可结果是相同的，我们选择前者查找答案 $01$ 分界点，非常方便。显然只要查找大于等于 $10^{bit(a_i)} - a_i$ 的第一个数 $a_{pos}$，即第一个 $bit(a_i+a_j)$ 结果为 $bit(a_i)+1$ 的数即可。随后因为这个区间的所有数的位数至少是 $bit(a_i)$ ，因此加上 $(i-1)bit(a_i)$ ，再加上位数多一的个数 $(i-pos)$ ，于是对于这个数与小于他的数的配对总和就是 $(i-1)bit(a_i)+(i-pos)$ ，对每个数如此操作即可。

时间复杂度 $O(n \log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
int a[100007];
int p[10] = { 1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000 };
 
int bit(int n) {
    if (!n) return 1;
    int ans = 0;
    while (n) n /= 10, ans++;
    return ans;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i], ans -= (n - i) * bit(a[i]);
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int pos = lower_bound(a + 1, a + i, p[bit(a[i])] - a[i]) - a;
        ans += (i - 1) * bit(a[i]) + (i - pos);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}