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题目描述

$n$ 支队伍一共参加了三场比赛。

一支队伍 $x$ 认为自己比另一支队伍 $y$ 强当且仅当 $x$ 在至少一场比赛中比 $y$ 的排名高。

求有多少组 $(x,y)$ ，使得 $x$ 自己觉得比 $y$ 强，$y$ 自己也觉得比 $x$ 强。

$(x, y), (y, x)$算一组。

输入描述

第一行一个整数 $n$ ，表示队伍数； 接下来 $n$ 行，每行三个整数 $a[i], b[i], c[i]$ ，分别表示 $i$ 在第一场、第二场和第三场比赛中的名次；$n$ 最大不超过 $200000$

输出描述

输出一个整数表示满足条件的 $(x,y)$ 数；$64$ bit请用lld

示例1

输入

4
1 3 1
2 2 4
4 1 2
3 4 3

输出

5

题解

知识点：分治，排序。

这是一道多维偏序题，可以CDQ分治，但鄙人还不会，这里用逆序对的。

注意到，一对的三场比赛至少一强一弱，由于$(x, y), (y, x)$算一组，因此在计算一场比赛时只管弱或者强的一种可能就行，另一种可能是重复的。

我们对第一场比赛排序，使得 $i<j$ 时 $i$ 比 $j$ 弱。现在去找第二场的逆序对，得到的答案便是第一场弱第二场强的对，但第三场不定；再对第一场排序，找第三场的逆序数，就找到了第一场弱第三场强的对，但第二场不定；再对第二场排序，找第三场的逆序数，就找到了第二场弱第三场强的对，但第一场不定。

于是我们得到了 $6$ 组情况（1代表强，0代表弱）：

序号/场次	第一场	第二场	第三场
1	0	1	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	0	0	1
5	1	0	1
6	0	0	1

我们发现 $1$ 和 $3$ 重复了，$4$ 和 $6$ 重复了。$2$ 和 $5$ 是互反的，由于每个组都是一种情况的全部可能性，而两种情况互反算一组，所以重复了。因此最终答案是三种情况相加除以 $2$ 。

时间复杂度 $O(n\log n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
struct team {
    int a, b, c;
}P[200007];
 
int Q[200007], R[200007];
long long ans = 0;
 
void merge_sort(int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid);
    merge_sort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (Q[i] <= Q[j]) R[k++] = Q[i++];
        else R[k++] = Q[j++], ans += mid - i + 1;
    }
    while (i <= mid) R[k++] = Q[i++];
    while (j <= r)R[k++] = Q[j++];
    for (int i = l;i <= r;i++) Q[i] = R[i];
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0;i < n;i++) cin >> P[i].a >> P[i].b >> P[i].c;
 
    sort(P, P + n, [&](team a, team b) {return a.a < b.a;});
    for (int i = 0;i < n;i++) Q[i] = P[i].b;
    merge_sort(0, n - 1);
 
    for (int i = 0;i < n;i++) Q[i] = P[i].c;
    merge_sort(0, n - 1);
 
    sort(P, P + n, [&](team a, team b) {return a.b < b.b;});
    for (int i = 0;i < n;i++) Q[i] = P[i].c;
    merge_sort(0, n - 1);
 
    cout << ans / 2 << '\n';
    return 0;
}