NC19115 选择颜色

题目

题目描述

$n$ 个人排成一个环形，每个人要从 $c$ 种颜色中选择一个。

牛牛希望相邻的人选择的颜色是不同的

问有多少种方案。

输出方案数对 $10007$ 取模的结果。

人是有顺序的，环旋转同构算不同的方案。

输入描述

输入只有一行，包含用空格分开的两个整数，表示 $n$ 和 $c$ 。

输出描述

输出一行一个整数，表示答案。

示例1

输入

4 3

输出

18

示例2

输入

1000000000 100

输出

726

说明

对 $10007$ 取模。

备注

对于所有数据： $3 \leq n \leq 1000000000, 3 \leq c \leq 100$
$20$ 分： $c \leq 3$
$40$ 分： $c \leq 4$
$70$ 分： $n \leq 10000$

题解

知识点：计数dp，运算优化。

设 $f_i$ 为考虑到了第 $i$ 个人，并且第 $i$ 个人与第 $1$ 个人颜色是相同的情况数。

设 $g_i$ 为考虑到了第 $i$ 个人，并且第 $i$ 个人与第 $1$ 个人颜色是不同的情况数。

显然 $f_i = g_{i-1}$ ，而 $g_i = (c-1)f_{i-1} + (c-2)g_{i-1}$。

把 $g_i$ 表达出来，$g_i = (c-1)g_{i-2} + (c-2)g_{i-1}$ ，随后解递推：

1. 二阶线性递推方程的特征方程是 $x^2 = px+q$ ，即 $x^2 = (c-2)x + (c-1)$ ，解得 $x = c-1 \ or\ -1$ 。
2. 于是有 $g_i = C_1(c-1)^{n-1}+C_2(-1)^{n-1}$ ，代入初始条件 $g_1 = 0$ 与 $g_2 = (c-1)f_1 = (c-1)c$ ，得 $C_1 = c-1 = -C_2$。
3. 因此通项公式是 $g_i = (c-1)^i + (c-1)(-1)^i$ 。

由于最后一个人肯定不能和第一个相同，因为是环状的，所以答案就是 $g_n$。

用快速幂处理即可。

时间复杂度 $O(\log n)$

空间复杂度 $O(1)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
const int mod = 1e4 + 7;
 
int qpow(int a, int k) {
    ll ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = a * ans % mod;
        k >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    cout << (qpow(c - 1, n) + (c - 1) * qpow(-1, n) + mod) % mod << '\n';
    return 0;
}