NC14731 逆序对

题目

题目描述

求所有长度为 $n$ 的 $01$ 串中满足如下条件的二元组个数：
设第 $i$ 位和第 $j$ 位分别位 $a_i$ 和 $a_j$ $(i<j)$ ，则 $a_i=1,a_j=0$ 。
答案对1e9+7取模。

输入描述

输入一个 $n$ 。

输出描述

输出答案对1e9+7取模

示例1

输入

3

输出

6

说明

备注

$n \leq 10^{18}$

题解

知识点：计数dp，运算优化。

推个公式，设$f(n)$ 是长度为 $n$ 时的逆序对总数，推导如下：

因为长度加一，则可以认为首位 $1$ 和 $0$ 与 $n-1$ 情况的排列组合。由于 $10$ 两种情况，那么 $f(n-1)$ 会出现两次； $1$ 和 $n-1$ 所有情况的 $0$ 都会产生一组逆序对，所以只要求出 $n-1$ 时 $0$ 出现次数，一共有 $2^{n-1}$ 种长度为 $n-1$ 的串数字，则数字总数是 $(n-1)2^{n-1}$ ，注意到 $1$ 和 $0$ 各占一半，则 $0$ 的总数是 $(n-1)2^{n-2}$ 。

综上有 $f(n) = 2f(n-1) + (n-1)2^{n-2}$，解递推得公式 $f(n) = \frac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}$ 。

用快速幂运算，注意 $n=1$ 的特殊情况，以及取模问题，$500000004 \cdot 2 \equiv 1 (mod \ 1000000007)$。

时间复杂度 $O(\log n)$

空间复杂度 $O(1)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
const int mod = 1e9 + 7;
 
ll qpow(ll a, ll k) {
    ll ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = a * ans % mod;
        k >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
 
///用不着分治，解递推得到通项
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    ll n;
    cin >> n;
    int ans = (n % mod) * ((n - 1) % mod) % mod * 500000004 % mod * qpow(2, max(n - 2, 0LL)) % mod;
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}