NC16539 [NOIP2013]表达式求值

题目

题目描述

给定一个只包含加法和乘法的算术表达式，请你编程计算表达式的值。

输入描述

输入仅有一行，为需要你计算的表达式，表达式中只包含数字、加法运算符“+”和乘法运算符“*”，且没有括号。
所有参与运算的数字均为 $0$ 到 $2^{31}-1$ 之间的整数。
输入数据保证这一行只有 $0$ ~ $9$ 、+ 、*这12种字符。

输出描述

输出只有一行，包含一个整数，表示这个表达式的值。注意：当答案长度多于 $4$ 位时，请只输出最后 $4$ 位，前导 $0$ 不输出。

示例1

输入

1+1*3+4

输出

8

说明

计算的结果为 $8$ ，直接输出 $8$ 。

示例2

输入

1+1234567890*1

输出

7891

说明

计算的结果为 $1234567891$ ，输出后 $4$ 位，即 $7891$ 。

示例3

输入

1+1000000003*1

输出

4

说明

计算的结果为 $1000000004$ ，输出后 $4$ 位，即 $4$ 。

备注

对于 $30\%$ 的数据， $0$ ≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤ $100$ ；
对于 $80\%$ 的数据， $0$ ≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤ $1000$ ；
对于 $100\%$ 的数据，$0$ ≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤ $100000$ 。

题解

方法一

知识点：分治。

表达式的运算有优先级直接读取难以计算，但运算总有最后一步，通过找到最后一次的运算将表达式以这个符号拆成左右两部分，就可以展开递归进行相同的操作。每次只需要遍历一遍当前表达式，找到所有符号最后出现的位置，加号优先判断，如果加号没有位置那就看乘号，来决定下一次拆分，如果都没有的话那说明是个纯数字，就字符串转换数字即可。注意到结果保留末四位，等价于模 $10000$，因为加法乘法在模意义下也具有意义。

此解法属于万能解法，可以十分方便处理所有运算符的一系列计算（包括但不限于加，减，乘，除，乘方，阶乘），而且可以通过改进变为可以带括号。平均复杂度 $O(n\log n)$ ，但如果每次拆分都在最左最右，那么会退化到 $O(n^2)$ ，而本题有连续加的特殊数据因此在加法处判断后立即break可以优化。但如果是乘法则无法直接break优化，因为无法确定后方是否有更小优先级的运算符，但本题没有连续乘法的数据qwq。

时间复杂度 平均：$O(nlogn)$ 最差： $O(n^2)$

空间复杂度 $O(n)$

方法二

知识点：模拟。

发现连续乘法的数字可以连续算出放入临时变量，然后加入最终答案，因为只有加法和乘法。

时间复杂度 $O(n)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

方法一

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int mod = 1e4;
 
string s;
 
int StoI(int l, int r) {
    int ans = 0;
    for (int i = l;i <= r;i++) ans = (10 * ans + s[i] - '0') % mod;
    return ans;
}
 
int calc(int l, int r) {
    int pos[2] = { -1,-1 };///+,*
    for (int i = l;i <= r;i++) {///找到最后一次出现的符号（因为没有括号直接找最后一次的）
        if (s[i] == '+') {
            pos[0] = i;
            break;
        }///找到+可以直接退出，避免最差复杂度
        else if (s[i] == '*') pos[1] = i;
    }
    if (!~pos[0] && !~pos[1]) return StoI(l, r);///纯数
    else if (~pos[0]) return (calc(l, pos[0] - 1) + calc(pos[0] + 1, r)) % mod;
    else if (~pos[1]) return calc(l, pos[1] - 1) * calc(pos[1] + 1, r) % mod;
    return 0;///过编译
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> s;
    cout << calc(0, s.length() - 1) << '\n';
    return 0;
}

方法二

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int mod = 1e4;
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    string s;
    cin >> s;
    s += '+';///终止最后一段
    int ans = 0;
    for (int i = 0, tmp = 0, last = 1;i < s.length();i++) {///tmp指一个数字，last指一个乘法数块
        if ('0' <= s[i] && s[i] <= '9') tmp = (tmp * 10 + s[i] - '0') % mod;///更新tmp
        else if (s[i] == '+') {///把tmp乘进last，更新ans、tmp、last
            last = last * tmp % mod;
            ans = (ans + last) % mod;
            tmp = 0;
            last = 1;
        }
        else if (s[i] == '*') {///把tmp乘进last，更新tmp
            last = last * tmp % mod;
            tmp = 0;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}