NC16660 [NOIP2004]FBI树

题目

题目描述

我们可以把由“0”和“1”组成的字符串分为三类：全“0”串称为B串，全“1”串称为I串，既含“0”又含“1”的串则称为F串。

FBI树是一种二叉树[1]，它的结点类型也包括F结点，B结点和I结点三种。由一个长度为 \(2^N\) 的“01”串S可以构造出一棵FBI树T，递归的构造方法如下：

1) T的根结点为R，其类型与串S的类型相同；

2) 若串S的长度大于1，将串S从中间分开，分为等长的左右子串S1和S2；由左子串S1构造R的左子树T1，由右子串S2构造R的右子树T2。

现在给定一个长度为2N的“01”串，请用上述构造方法构造出一棵FBI树，并输出它的后序遍历[2]序列。

​ [1] 二叉树：二叉树是结点的有限集合，这个集合或为空集，或由一个根结点和两棵不相交的二叉树组成。这两棵不相交的二叉树分别称为这个根结点的左子树和右子树。

​ [2] 后序遍历：后序遍历是深度优先遍历二叉树的一种方法，它的递归定义是：先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根。

输入描述

第一行是一个整数 \(N(0 <= N <= 10)\)
第二行是一个长度为 \(2^N\) 的“01”串。

输出描述

一个字符串，即FBI树的后序遍历序列。

示例1

输入

3
10001011

输出

IBFBBBFIBFIIIFF

备注

对于 \(40\%\) 的数据，\(N \leq 2\)；
对于全部的数据，\(N\leq 10\)。

题解

知识点：树，分治。

按照要求递归，因为输出后序，所以输出放在两个递归之后。如果每次都完整遍历判断一次，时间复杂度是 \(O(n\cdot 2^n)\) ，但发现串的类型和两个子串类型是有必然关系的，因此每次返回串类型就能减小复杂度至 \(O(n)\) 。

递归：长度为 \(1\) 判断类型后输出并返回，其余长度考虑左子树右子树的情况，发现相同类型子树合并后还是同样的类型，而不同类型子树合并必然是 \(F\) 型，随后输出并返回。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(2^n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

string s;
char lo(int l, int r) {
    if (l == r) {
        if (s[l] == '0') { cout << 'B';return 'B'; }
        else { cout << 'I';return 'I'; }
    }
    char lc = lo(l, l + r >> 1);
    char rc = lo((l + r >> 1) + 1, r);
    if (lc == rc) { cout << lc;return lc; }
    else { cout << 'F';return 'F'; }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    cin >> s;
    lo(0, (1 << n) - 1);
    cout << '\n';
    return 0;
}