NC20861 兔子的逆序对

题目

题目描述

兔子最近喜欢上了逆序对。一个逆序对 $(i,j)$ 需要满足 $i < j$ 且 $a_i > a_j$ 。兔子觉得只是求一个序列的逆序对个数太没有意思了。于是兔子想到了一个更有趣的问题！

兔子可以把区间 $[L,R]$ 反转，例如序列 $\{1,2,3,4\}$ 反转区间 $[1,3]$ 后是 $\{3,2,1,4\}$ 。兔子有 $m$ 次反转操作，现在兔子想知道每次反转后逆序对个数是奇数还是偶数，兔子喜欢偶数，而讨厌奇数。

请注意，每一次反转操作都会对原序列进行改变。例如序列 $\{1,2,3,4\}$ 第一次操作区间 $[1,2]$ 后变成 $\{2,1,3,4\}$ 第二次反转区间 $[3,4]$ 后变成 $\{2,1,4,3\}$ 。

输入描述

第一行一个整数 $n$ ，表示序列的大小。
第二行 $n$ 个整数 $a_i$ 表示序列的各个元素。
第三行一个整数 $m$ ，表示操作个数。
接下来 $m$ 行，每行两个整数 $l$，$r$，表示反转的区间。

输出描述

输出共 $m$ 行每行一个字符串，表示反转后序列逆序对个数的奇偶性，如果是逆序对个数奇数，输出"dislike"(不含引号)，如果是偶数，输出"like"。

示例1

输入

4
1 2 3 4
4
1 2
3 4
1 4
2 3

输出

dislike
like
like
dislike

说明

注意：以下的 $(i,j)$ 指的是位置 $i$ 和位置 $j$
$a=\{2,1,3,4\}$ 的逆序对是 $(1,2)$ 共 $1$ 个，$1$ 是奇数，所以是dislike
$a=\{ 2,1,4,3 \}$ 的逆序对是 $(1,2)$ $(3,4)$ 共 $2$ 个, $2$ 是偶数，所以是like
$a=\{3,4,1,2\}$ 的逆序对是 $(1,3)$ $(1,4)$ $(2,3)$ $(2,4)$共 $4$ 个, $4$ 是偶数，所以是like
$a=\{3,1,4,2\}$ 的逆序对是 $(1,2)$ $(1,4)$ $(3,4)$ 共 $3$ 个, $3$ 是奇数，所以是dislike

备注

对于 $20\%$ 的数据
$1 \leq n \leq 100$
$1 \leq m \leq 10$
对于 $40\%$ 的数据
$1 \leq n \leq 2000$
$1 \leq m \leq 50$
对于 $60\%$ 的数据
$1 \leq n \leq 2000$
$1 \leq m \leq 10^4$
对于 $100\%$ 的数据
$1 \leq n \leq 10^5$
$1 \leq m \leq 2 \cdot 10^6$

对于所有数据 $l \leq r$ 且 $a_i$ 是 $n$ 的一个排列，即 $a_i$ 互不相同且 $a_i \leq n$
由于读入数据较大，建议使用快速读入。

题解

知识点：数学，排序，递归。

假设一段长为 $n$ 的序列的逆序数是 $x$ ，则反转以后的逆序数是 $\frac{n(n-1)}{2} - x$ ，因为所有不成逆序的对会变为逆序，而原本逆序的对会变成不逆序的。随后我们发现，反转一段序列会导致逆序数变化量为 $\frac{n(n-1)}{2} -2x$ ，即决定变化量奇偶性的是 $\frac{n(n-1)}{2}$ ，如果为偶，则原奇偶性不变；如果为奇，则原奇偶性变化。

时间复杂度 $O(n\log n + m)$

空间复杂度 $O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int a[100007], b[100007], cnt;
 
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c>'9') {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }///整数符号
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }///挪位加数
    return x * f;
}
 
void merge_sort(int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid);
    merge_sort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (a[i] <= a[j]) b[k++] = a[i++];
        else b[k++] = a[j++], cnt += mid - i + 1;
    }
    while (i <= mid) b[k++] = a[i++];
    while (j <= r) b[k++] = a[j++];
    for (int i = l;i <= r;i++) a[i] = b[i];
}
 
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n = read();
    for (int i = 0;i < n;i++) a[i] = read();
    merge_sort(0, n - 1);
    bool flag = cnt & 1;
    int m = read();
    while (m--) {
        int l = read(), r = read();
        long long feat = 1LL * (r - l + 1) * (r - l) / 2;
        if (feat & 1)  flag ^= 1;
        if (flag) cout << "dislike" << '\n';
        else cout << "like" << '\n';
    }
    return 0;
}